不等式教案

不等式教案（通用8篇）

不等式教案 篇1

　　1、 ( 、 )。

　　2、 ( 、 , )(当且仅当 时取等号)。

　　3、若 、 、 且 ,则 (真分数的分子分母加上同一个正数,值变大)。

　　4、若 、 、 且 ,则 。

　　5、 。

　　6、一个重要的均值不等式链:设 ,则有 (当且仅当 时取等号)。

　　7、若已知条件中含有或隐含着" "或" "这一信息,常常可以设" "用这种和式增量法来证明不等式、求值、或比较大小。

　　8、不等式证明常用的放缩方法:

　　(1) ;

　　(2) 。

　　七、解析几何:

　　1、两条平行直线 和 之间的距离为 。

　　2、直线 过定点 ,且点 在圆 内,则 与圆 必相交。

　　过圆内一点 的弦长,以直径为最大,垂直于 ( 为圆心)的弦为最小。

　　3、直线在 轴、 轴上的截距相等包含有直线过原点这一特殊情况。

　　4、直线过定点 时,根据情况有时可设其方程为 ( 时直线 )应用点斜式解题,应检验直线斜率不存在的情况。

　　5、 已知圆的方程是 和点 ,若点 是圆上的点,则方程 表示过点 的圆的切线方程;若点 在圆外,则方程 表示过点 向圆所作的两条切线的切点所在的直线方程(又称切点弦方程)。

　　6、过圆 上一点 的圆的切线方程是:

　　。

　　7、圆 和 相交于 、 两点,则直线 为这两圆的"根轴",其方程为 (即为公共弦 所在的直线方程。利用此法,可以推导圆的切点弦方程)。

　　8、已知一个圆的直径端点是 、 ,则圆的方程是:

　　。

　　9、给一定点 和椭圆: , 、 分别为左右焦点,有如下性质:

　　(1)若点 在椭圆上,则 , (由椭圆第二定义推出);

　　(2)若点 在椭圆上,过这一点的椭圆的切线方程则可表示为: ;

　　(3)若点 在椭圆外,则这一点对应的椭圆的切点弦可表示为: ;

　　(4)若点 在椭圆内,则这一点对应的椭圆的极线可表示为: ;

　　补充:直线 与椭圆 相切的充要条件是:

　　。

　　10、三种圆锥曲线的通径(通径是最短的焦点弦):

　　(1)椭圆 的通径长为 ;

　　(2)双曲线 的通径长为 ;

　　(3)抛物线 的通径长为 。

　　11、双曲线的焦半径公式:点 为双曲线 上任意一点, 、 分别为左右焦点

　　(1)若 在右支上,则 , ;

　　(2)若 在左支上,则 , 。

　　12、双曲线标准方程(焦点在 轴或 轴上)的统一形式为 ( ),双曲线 的渐近线方程为 ,也可记作 。

　　13、过抛物线 的焦点且倾斜角为 的弦 , 时,最短弦长为 ,即为抛物线的通径。

　　14、圆锥曲线中几条特殊的垂直弦和定点弦:

　　(1)过抛物线 的顶点作两条互相垂直的弦 ,则弦 过定点 ;

　　(2)过抛物线 的顶点作两条互相垂直的弦 ,点 分别为 的中点,则直线 过定点 ;

　　(3)过抛物线 上一点 作两条互相垂直的弦 ,则弦 过定点 ;

　　(4)过椭圆 的中心 作两条相互垂直的弦 ,则原点到弦ab的距离为定值: ,且 (此时弦ab最短), (此时弦ab最长);

　　(5)过椭圆 的右顶点 作两条相互垂直的弦 ,则弦mn过定点: ;

　　(6)过椭圆 的右焦点 作两条相互垂直的弦 ,点 分别为 的中点,则直线mn过定点: ;

　　(7)过双曲线 的中心 作两条相互垂直的弦 ,则原点到弦ab的距离为定值: ;

　　15、过抛物线 上一点 的焦半径 ;若 、 是过焦点 弦的端点, , 则:

　　(1) , ;

　　(2) ;

　　(3) ( 为直线 与 轴的夹角);

　　(4)若 、 在准线 上的射影分别为 、 ,则 ;

　　(5)以焦点弦 为直径的圆与准线 相切,切点为 的中点;

　　(6)以焦半径 为直径的圆与 轴相切;

　　(7)以 为直径的圆与焦点弦 相切,切点为焦点f;

　　16、过抛物线的准线与对称轴的交点作抛物线的两条切线,则切点弦长等于该抛物线的通径。过抛物线 的对称轴上任意一点 作抛物线的切线,切点分别为 、 ,则直线过定点 。

　　17、由抛物线焦点发出的光线,经过抛物线上一点反射后,反射光线平行抛物线的轴。

　　18、若双曲线的两条渐近线方程分别为 ,则对应双曲线方程可设为为 为参数)。

　　19、等轴双曲线的离心率 ;双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚半轴长 。

　　20、若一直线被双曲线及两条渐近线所截,则夹在双曲线与渐近线间的线段长相等。

　　21、点与圆锥曲线的位置关系:

　　(1)若点 在抛物线 内部,则 。

　　若点 在抛物线 外部,则 ;

　　(2)若点 在 内部,则 。

　　若点 在 外部,则 ;

　　(3)双曲线 内的点 (指点在双曲线弧内),满足 ;

　　双曲线 外的点 (指点在双曲线弧外),满足 。

　　22、若直线 与二次曲线交于 、 两点,则由:

　　,知直线与二次曲线相交所截得的弦长:

　　其中 (涉及直线与二次曲线相交的位置关系应注意 ,还需要注意圆锥曲线本身的范围。若求弦所在直线的斜率常用"点差法")。

　　23、中心在原点的椭圆、双曲线方程(焦点位置不定)可设为 (其中 且 时为椭圆, 时为双曲线)。

　　24、圆锥曲线的参数方程:

　　(1)椭圆 的参数方程为 ( 为参数);

　　(2)双曲线 的参数方程为 ( 为参数);

　　(3)抛物线 的参数方程为 ( 为参数)。

　　25、若 为椭圆 上任一点, 、 为焦点, 为短轴的一个端点,则 (证明用到椭圆定义、余弦定理)。

　　26、与直线 平行的直线系方程为 (参数 );

　　与直线 垂直的直线系方程为 ( 为参数)。

　　27、共离心率的椭圆系方程为 ( 为参数)。椭圆的离心率 越接近1,椭圆越扁;椭圆的离心率越接近于0,椭圆就接近于圆。可以概括为:椭圆的离心率越大,椭圆越扁。

　　28、共渐近线的双曲线系方程为 ( 为参数)。

　　29、设 是椭圆 上的任意一点(不在长轴上), 、 为左右焦点,则称 为焦点三角形, , , ,该三角形有如下性质:

　　(1)离心率: ;

　　(2)面积: ;

　　(3)旁切球:左右两个旁切球的球心都在直线 上;

　　(4)设其内心为 ,连接pi并延长交长轴于点m,则有: ;

　　(5)当且仅当点p在短轴端点时, 最大, 也最大。

　　30、设 是双曲线 上的任意一点(不在实轴上), 、 为左右焦点, ,则 的面积为 。

　　31、椭圆 内接三角形,四边形的面积最大问题

　　(1)椭圆内接三角形面积的最大值为: (当且仅当三角形的重心为椭圆的中心);

　　(2)椭圆内接四边形面积的最大值为: (当且仅当四边形的对角线为椭圆的一对共轭直径)

　　32、设m,n为椭圆 上关于原点中心对称的两点,p为椭圆上异于m,n的任意一点,则 。(双曲线中为: )

　　33、已知两点 、 及直线

　　(1)若点 、 在直线 的同侧,则 。

　　(2)若点 、 在直线 的异侧,则 。

　　34、已知点 、及直线 ,点 关于直线 的对称点为 ,则有 其中

　　35、在线性规划中,

　　(1)对形如 型的目标函数,可变形为 , 看做直线在 轴上的截距,问题转化为求纵截距范围或

　　(2)对形如 型的目标函数,变形为 的形式,将问题转化为求可行域内的点 与点 连线斜率的 倍的范围;

　　(3)对形如 型的目标函数,可化为 的形式,将问题化归为求可行域内的点 到直线 距离的 倍的最值。

　　36、在圆锥曲线中,求形如 ( 是圆锥曲线内的一点, 是圆锥曲线的一个焦点)的最值问题时,可利用圆锥曲线的第二定义将 转化为圆锥曲线上的点到准线的距离。

　　有关线段和差关系的计算,可优先考虑圆锥曲线的第一定义。

　　37、凡是动点到圆上动点之间距离的最值,必过圆心时才能取得,应先求动点到圆心的最值,再加上或减去半径

不等式教案 篇2

　　整体设计

　　教学分析

　　本节课的研究是对初中不等式学习的延续和拓展，也是实数理论的进一步发展.在本节课的学习过程中，将让学生回忆实数的基本理论，并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小.

　　通过本节课的学习， 让学生从一系列的具体问题情境中，感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，并充分认识不等关系的存在与应用.对不等关系的相关素材，用数学观点进行观察、归纳、抽象，完成量与量的比较过程.即能用不等式或不等式组把这些不等关系表示出来.在本节课的学习过程中还安排了一些简单的、学生易于处理的问题，其用意在于让学生注意对数学知识和方法的应用，同时也能激发学生的学习兴趣，并由衷地产生用数学工具研究不等关系的愿望.根据本节课的教学内容，应用再现、回忆得出实数的基本理论，并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小.

　　在本节教学中，教师可让学生阅读书中实例，充分利用数轴这一简单的数形结合工具，直接用实数与数轴上 点的一一对应关系，从数与形两方面建立实数的顺序关系.要在温故知新的基础上提高学生对不等式的认识.

　　三维目标

　　1.在学生了解不等式产生的实际背景下，利用数轴回忆实数的基本理论，理解实数的大小关系，理解实数大小与数轴上对应点位置间的关系.

　　2.会用作差法判断实数与代数式的大小，会用配方法判断二次式的大小和范围.

　　3.通过温故知新，提高学生对不等式的认识，激发学生的学习兴趣，体会数学的奥秘与数学的结构美.

　　重点难点

　　教学重点：比较实数与代数式的大小关系，判断二次式的大小和范围.

　　教学难点：准确比较两个代数式的大小.

　　课时安排

　　1课时

　　教学过程

　　导入新课

　　思路1.(章头图导入)通过多媒体展示卫星、飞船和一幅山峦重叠起伏的壮观画面，它将学生带入“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”的大自然和浩瀚的宇宙中，使学生在具体情境中感受到不等关系在现实世界和日常生活中是大量存在的，由此产生用数学研究不等关系的强烈愿望，自然地引入新课.

　　思路2.(情境导入)列举出学生身体的高矮、身体的轻重、距离学校路程的远近、百米赛跑的时间、数学成绩的多少等现实生活中学生身边熟悉的事例，描述出某种客观事物在数量上存在的不等关系.这些不等关系怎样在数学上表示出来呢?让学生自由地展开联想，教师组织不等关系的相关素材，让学 生用数学的观点进行观察、归纳，使学生在具体情境中感受到不等关系与相等关系一样，在现实世界和日常生活中大量存在着.这样学生会由衷地产生用数学工具研究不等关系的愿望，从而进入进一步的探究学习，由此引入新课.

　　推进新课

　　新知探究

　　提出问题

　　1回忆初中学过的不等式，让学生说出“不等关系”与“不等式”的异同.怎样利用不等式研究及表示不等关系?

　　2在现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系.你能举出一些实际例子吗?

　　3数轴上的任意两 点与对应的两实数具有怎样的关系?

　　4任意两个实数具有怎样的关系?用逻辑用语怎样表达这个关系?

　　活动：教师引导学生回忆初中学过的不等式概念，使学生明确“不等关系”与“不等式”的异同.不等关系强调的是关系，可用符号“>”“b”“a

　　教师与学生一起举出我们日常生活中不等关系的例子，可让学生充分合作讨论，使学生感受到现实世界中存在着大量的不等关系.在学生了解了一些不等式产生的实际背景的前提下，进一步学习不等式的有关内容.

　　实例1：某天的天气预报报道，气温32 ℃，最低气温26 ℃.

　　实例2：对于数轴上任意不同的两点A、B，若点A在点B的左边，则xA

　　实例3：若一个数是非负数，则这个数大于或等于零.

　　实例4：两点之间线段最短.

　　实例5：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.

　　实例6：限速40 km/h的路标指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40 km/h.

　　实例7：某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%.

　　教师进一步点拨：能够发现身 边的数学当然很好，这说明同学们已经走进了数学这门学科，但作为我们研究数学的人来说，能用数学的眼光、数学的观点进行观察、归纳、抽象，完成这些量与量的比较过程，这是我们每个研究数学的人必须要做的，那么，我们可以用我们所研究过的什么知识来表示这些不等关系呢?学生很容易想到，用不等式或不等式组来表示这些不等关系.那么不等式就是用不等号将两个代数式连结起来所成的式子.如-71+4,2x≤6，a+2≥0,3≠4,0≤5等.

　　教师引导学生将上述的7个实例用不等式表示出来.实例1，若用t表示某天的气温，则26 ℃≤t≤32 ℃.实例3，若用x表示一个非负数，则x≥0.实例5，|AC|+|BC|>|AB|，如下图.

　　|AB|+|BC|>|AC|、|AC|+|BC|>|AB|、|AB|+|AC|>|BC|.

　　|AB|-|BC|b，a应用示例

　　例1(教材本节例1和例2)

　　活动：通过两例让学生熟悉两个代数式的大小比较的基本方法：作差，配方法.

　　点评：本节两例的求解，是借助因式分解和应用配方法完成的，这两种方法是代数式变形时经常使用的方法，应让学生熟练掌握.

　　变式训练

　　1.若f(x)=3x2-x+1，g(x)=2x2+x-1，则f(x)与g(x)的大小关系是(　　)

　　A.f(x)>g(x)　　　　　　 B.f(x)=g(x)

　　C.f(x)

　　答案：A

　　解析：f(x)-g(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1≥1>0，∴f(x)>g(x).

　　2.已知x≠0，比较(x2+1)2与x4+x2+1的大小.

　　解：由(x2+1)2-(x4+x2+1)=x4+2x2+1-x4-x2-1=x2.

　　∵x≠0，得x2>0.从而(x2+1)2>x4+x2+1.

　　例2比较下列各组数的大小(a≠b).

　　(1)a+b2与21a+1b(a>0，b>0);

　　(2)a4-b4与4a3(a-b).

　　活动：比较两个实数的大小，常根据实数的运算性质与大小顺序的关系，归结为判断它们的差的符号来确定.本例可由学生独立完成，但要点拨学生在最后的符号判断说理中，要理由充分，不可忽略这点.

　　解：(1)a+b2-21a+1b=a+b2-2aba+b=a+b2-4ab2a+b=a-b22a+b.

　　∵a>0，b>