函数教案

函数教案（精选11篇）

函数教案 篇1

　　1、函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。

　　判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式: , 。

　　2、若函数 既是奇函数又是偶函数,则 恒等于零,这样的函数有无数个。

　　3、如果点 是原函数图象上的点,那么点 就是其反函数图象上的点。

　　4、反函数的相关性质:

　　(1)互为反函数的两个函数具有相同的的单调性,单调区间不一定相同;

　　(2)定义域上的单调函数必有反函数;(函数单调只能作为存在反函数的充分条件)

　　只有从定义域到值域上一一映射所确定的函数才有反函数。(存在反函数的充要条件)

　　(3)奇函数的反函数也是奇函数。偶函数不存在反函数(定义域为单元素集的偶函数除外);

　　(4)周期函数不存在反函数;

　　(5)若 是连续单调递增函数,则" 与 的图象有公共点" " 的图象与直线 有公共点" "方程 有解";

　　(6)若 为增函数,则 与 的图象的交点必在直线 上;

　　(7)函数 的图象与函数 的图象关于直线 对称;

　　(8)函数 与 的图象关于直线 对称。

　　5、两个函数相同,当且仅当它们的定义域和对应法则分别相同。

　　6、 对 恒成立 或 其中 。

　　7、二次函数的三种表现形式:

　　(1)一般式 ;

　　(2)顶点式: 其中 为抛物线顶点坐标;

　　(3)零点式: 其中 、 为抛物线与 轴两个交点的横坐标。

　　8、不等式中的恒成立问题与不等式的有解问题对比:

　　(1) 在 的定义域上恒成立 ;

　　(2) 在 的定义域上恒成立 ;

　　(3) 在 的定义域上有解 ;

　　(4) 在 的定义域上有解 。

　　某些恒成立问题有时通过分离变量(在等式或不等式中出现两个变量,其中一个变量的范围已知,另一个为所求,这时可通过恒等变形将两个变量分置于等号或不等号两边)将恒成立问题转化为函数在给定区间上的最值问题,从而求解。

　　9、对于函数中的恒成立问题补充两点说明:

　　(1)若 恒成立,则m不一定为 的最大值。若 恒成立,则m不一定为 的最小值;

　　(2)若 恒成立,则 为的最大值,若 恒成立,则 为的最小值。

　　10、函数 的最小值为 。

　　11、重要工具函数 的性质:不妨设

　　(1) 时,函数在区间 上单调递增;

　　(2) 时,函数在区间 上单调递减,在区间 上单调递增。

　　12、关于函数对称性,奇偶性与周期性的关系:

　　类型之一:线线型 周期性

　　(1)若函数 在 上的图象关于直线 与 都对称,则函数 是 上的周期函数, 是它的一个周期。

　　(2)若函数 为偶函数,且图象关于直线 对称,则 为周期函数, 是它的一个周期。

　　类型之二:点线型 周期性

　　(1)若函数 在 上的图象关于点 和直线 都对称,则函数 是 上的周期函数, 是函数 在 上的一个周期。

　　(2)若函数 为偶函数,且图象关于点 成中心对称,则函数 为周期函数, 是它的一个周期。

　　(3)若函数 为奇函数,且图象关于直线 对称,则 为周期函数, 是它的一个周期。

　　类型之三:点点型 周期性

　　(1)若函数 在 上的图象关于相异两点 、 都对称,则函数 是 上的周期函数, 是它的一个周期。

　　(2)若函数 为奇函数,且图象关于点 成中心对称,则函数 为周期函数, 是它的一个周期。

　　13、由函数方程推导函数周期的常见类型:

　　(1)若函数 满足 ,则 ,则 是 上的周期函数,且 是它的一个周期。

　　(2)若函数 满足 ,则 是 上的周期函数,且 是它的一个周期。

　　(3)若对于任意一个实数 ,都有 ,则 是 上的周期函数,且 是它的一个周期。

　　(4)若对于任意一个实数 ,都有 ,则 是 上的周期函数,且 是它的一个周期。

　　(5)定义在 上的函数 ,若存在非零正实数 ,对于一切 ,都有 ,则 是以 为周期的函数。

　　(6)定义在 上的函数 ,若存在非零正实数 ,对于一切 ,都有 ,则 是以 为周期的函数。(过度关系: )

　　(7)定义在 上的函数 对于 都有 ,则 是以6为周期的函数。(过度关系:

　　(8)定义在 上的函数 对于 都有 ,则 是以6为周期的函数。

　　(过度关系: )

　　(9)若 是函数 的任意一个周期,则 的相反数 也是 的周期; 也是 的周期;若 都是 的周期,且 ,则 也是 的周期。

　　说明:对于(1)~(5),其代换函数,有如下特点:原函数与反函数相同,代换两次能够还原。如: 都是原函数与反函数相同的函数,即 。可见本章-24。

　　14、函数图象的自身对称问题:

　　(1)偶函数的图象关于y轴对称;(轴对称)

　　(2)奇函数的图象关于原点对称;(中心对称)

　　(3)定义在 上的函数 ,若满足 ,则函数 的图象关于直线 对称;( ,即:"取平均值",与m的值无关)

　　(4)定义在 上的函数 ,若满足 ,则函数 的图象关于点 中心对称;

　　(5)定义在 上的函数 ,若满足 (或 ),则函数 的图象关于点 中心对称。

　　15、两函数图象间的对称问题:

　　(1)定义在 上的函数 与函数 的图象关于直线 对称;(其对称轴方程 由 解得,与m的值有关)

　　(2)定义在 上的函数 与函数 的图象关于点 中心对称;

　　(3)定义在 上的函数 与函数 的图象关于点 中心对称;

　　(4)特别地:①函数 关于x轴对称的函数为:

　　②函数 关于y轴对称的函数为:

　　③函数 关于原点对称的函数为:

　　④函数 关于 对称的函数为:

　　⑤函数 关于 对称的函数为:

　　⑥函数 关于直线 轴对称的函数为: ;

　　⑦函数 关于直线 轴对称的函数为: ;

　　⑧函数 关于点 中心对称的函数为: 。

　　16、若函数 为奇函数,且定义域为 ,则必有 。

　　若函数 是偶函数,那么 。

　　17、基本的函数图象变换:

　　(1)要作 的图象,只须将 的图象向上( 时)或向下( 时)

　　平移 个单位;

　　(2)要作 的图象,只须将 的图象向右( 时)或向左( 时)平移 个单位;

　　(3)要作 的图象,可先作函数 的图象,然后将 轴上方部分保持不变, 轴下方部分沿 轴对称上翻即可;

　　(4)要作 的图象,只需保留 在 轴右边的图象(擦去 轴左边的图解),然后将 轴右边部分对称地翻折到左侧即可。(注意 是偶函数)。

　　(5)要作 的图象,只须将 的图象作关于直线 对称,也可以将 的图象先作关于y轴对称,再向右( 时)或向左( 时)平移 个单位;

　　18、对称轴的斜率为 时的对称变换:

　　(1)曲线 关于直线 的对称曲线为 ;

　　(2)曲线 关于直线 的对称曲线为 ;

　　(3)点 关于直线 的对称点为 ;

　　(4)点 关于直线 的对称点为 。

　　19、函数 按向量 平移后的函数表达式为: ;

　　20、判断 符号可以1为分界点,当 在1的同侧( 或 )时, ;当 在1的两侧时, 。可以概括为:"同向为正,异向为负"

　　21、关于函数 的定义域为 或值域为 的问题:

　　(1)若其定义域为 ,则须 在 上恒成立,问题等价为:

　　或 其中 ;

　　&nbs

　　或 其中 。

　　22、当且仅当 时,函数 与函数 的图象相切于直线 上的点 。

　　23、一次分式函数 的相关性质:

　　(1)定义域: ;

　　(2)值域: ;

　　(3)图像:双曲线线;

　　(4)渐近线: ;

　　(5)对称中心: ;

　　(6)单调性:①当 , 单调递减, 单调递减;

　　②当 , 单调递增, 单调递增;

　　特别地:当 ,即 时,函数 和其反函数 为同一函数。也即函数 的图像关于直线 对称。

　　24、用函数方程法求函数解析式应注意的问题

　　一般地,形如: ,其中 已知,要求 的解析式,通常的做法为:用 去替代原式中所有的 ,得到 ,若此式中的 ,则可以得到: ,再将此式与原式联立,消掉 ,就可以求出 ,故能用此法求解的关键在于: ,此式说明 必满足,原函数与反函数为同一函数。例如: , , 等。

　　25、抽象函数中的相关问题

　　(1)奇偶性的判断

　　①若 ( ),则 为奇函数;

　　②若 ( ),则 为奇函数;

　　③若 ( ),则 为偶函数;

　　④若 ( ),则 为奇函数;

　　⑤若 ,则 为偶函数。

　　(2)单调性的判断

　　① ;(作差比较函数值)

　　② 。(作差比较函数值)

　　26、求函数值域的类型与方法归类

　　(1)直接法,直接观察,根据式子的结构特征得出值域。

　　(2)配方法,适用于二次型函数: 。

　　(3)反函数法,分离x或关于x的表达式,求y的范围,形如: 等形式。

　　(4)判别式法,适用于二次分式函数: 。

　　(5)均值不等式法,适用于: ,注意一正二定三相等。

　　(6)换元法,适用于: ,可令 则 ,转化为二次型。

　　三角换元法,含 结构的函数中可 。

　　(7)单调法,利用导数求得函数的单调区间和极值,得到值域。

　　(8)数形结合法,转化成相应的几何意义,如:距离,斜率,角度等。

　　27、 , , , 。

　　28、 , ,

函数教案 篇2

　　教学目标：①掌握对数函数的性质。

　　②应用对数函数的性质可以解决：对数的大小比较，求复合函数的定义域、值 域及单调性。

　　③ 注重函数思想、等价转化、分类讨论等思想的渗透,提高解题能力。

　　教学重点与难点：对数函数的性质的应用。

　　教学过程设计：

　　⒈复习提问：对数函数的概念及性质。

　　⒉开始正课

　　1 比较数的大小

　　例 1 比较下列各组数的大小。

　　⑴loga5.1 ,loga5.9 (a>0,a≠1)

　　⑵log0.50.6 ,logЛ0.5 ,lnЛ

　　师：请同学们观察一下⑴中这两个对数有何特征?

　　生：这两个对数底相等。

　　师：那么对于两个底相等的对数如何比大小?

　　生：可构造一个以a为底的对数函数，用对数函数的单调性比大小。

　　师：对，请叙述一下这道题的解题过程。

　　生：对数函数的单调性取决于底的大小：当0

　　调递减，所以loga5.1>loga5.9 ;当a>1时，函数y=logax单调递

　　增，所以loga5.1

　　板书：

　　解：Ⅰ)当0

　　∵5.1loga5.9

　　Ⅱ)当a>1时，函数y=logax在(0，+∞)上是增函数，

　　∵5.10，lnЛ>0，logЛ0.51，

　　log0.50.6log0.2(3x+3)

　　师：如何来求⑴中函数的定义域?(提示：求函数的定义域，就是要使函数有意义。若函数中含有分母，分母不为零;有偶次根式，被开方式大于或等于零;若函数中有对数的形式，则真数大于零，如果函数中同时出现以上几种情况，就要全部考虑进去，求它们共同作用的结果。)生：分母2x-1≠0且偶次根式的被开方式log0.8x-1≥0，且真数x>0。

　　板书：

　　解：∵　　 2x-1≠0　　　　　 x≠0.5

　　log0.8x-1≥0 ，　 x≤0.8

　　x>0　　　　　　　 x>0

　　∴x(0,0.5)∪(0.5,0.8〕

　　师：接下来我们一起来解这个不等式。

　　分析：要解这个不等式,首先要使这个不等式有意义，即真数大于零，

　　再根据对数函数的单调性求解。

　　师：请你写一下这道题的解题过程。

　　生：

　　解：　 x2+2x-3>0 　　　　　x1

　　(3x+3)>0　 　　,　　 x>-1

　　x2+2x-30,a≠1)

　　师：求例3中函数的的值域和单调区间要用及复合函数的思想方法。

　　下面请同学们来解⑴。

　　生：此函数可看作是由y= log0.5u, u= x- x2复合而成。

　　板书：

　　解：⑴∵u= x- x2>0, ∴0

　　u= x- x2=-(x-0.5)2+0.25, ∴0

　　∴y= log0.5u≥log0.50.25=2

　　∴y≥2

　　x　　　 x(0,0.5]　　 x[0.5,1)

　　u= x- x2

　　y= log0.5u

　　y=log0.5(x- x2)

　　函数y=log0.5(x- x2)的单调递减区间(0,0.5]，单调递 增区间[0.5,1)

　　注：研究任何函数的性质时，都应该首先保证这个函数有意义，否则

　　函数都不存在，性质就无从谈起。

　　师：在⑴的基础上，我们一起来解⑵。请同学们观察一下⑴与⑵有什

　　么区别?

　　生：⑴的底数是常值，⑵的底数是字母。

　　师：那么⑵如何来解?

　　生：只要对a进行分类讨论，做法与⑴类似。

　　板书：略。

　　⒊小结

　　这堂课主要讲解如何应用对数函数的性质解决一些问题，希望能

　　通过这堂课使同学们对等价转化、分类讨论等思想加以应用，提高解题能力。

　　⒋作业

　　⑴解不等式

　　①lg(x2-3x-4)≥lg(2x+10);②loga(x2-x)≥loga(x+1),(a为常数)

　　⑵已知函数y=loga(x2-2x)，(a>0,a≠1)

　　①求它的单调区间;②当0

　　⑶已知函数y=loga (a>0, b>0, 且 a≠1)

　　①求它的定义域;②讨论它的奇偶性;　 ③讨论它的单调性。

　　⑷已知函数y=loga(ax-1) (a>0,a≠1),

　　①求它的定义域;②当x为何值时，函数值大于1;③讨论它的

　　单调性。

　　5.课堂教学设计说明

　　这节课是安排为习题课，主要利用对数函数的性质解决一些问题，整个一堂课分两个部分：一 .比较数的大小,想通过这一部分的练习，

　　培养同学们构造函数的思想和分类讨论、数形结合的思想。二.函数的定义域, 值 域及单调性，想通过这一部分的练习，能使同学们重视求函数的定义域。因为学生在求函数的值域和单调区间时，往往不考虑函数的定义域，并且这种错误很顽固，不易纠正。因此，力求学生做到想法正确，步骤清晰。为了调动学生的积极性，突出学生是课堂的主体，便把例题分了层次，由易到难，力求做到每题都能由学生独立完成。但是，每一道题的解题过程，老师都应该给以板书，这样既让学生有了获取新知识的快乐，又不必为了解题格式的不熟悉而烦恼。每一题讲完后，由教师简明扼要地小结，以使好学生掌握地更完善，较差的学生也能够跟上。

函数教案 篇3

　　1、锐角三角形中,任意两个内角的和都属于区间 ,且满足不等式:

　　即:一角的正弦大于另一个角的余弦。

　　2、若 ,则 ,

　　3、 的图象的对称中心为 ( ),对称轴方程为 。

　　4、 的图象的对称中心为 ( ),对称轴方程为 。

　　5、 及 的图象的对称中心为 ( )。

　　6、常用三角公式:

　　有理公式: ;

　　降次公式: , ;

　　万能公式: , , (其中 )。

　　7、辅助角公式: ,其中 。辅助角 的位置由坐标 决定,即角 的终边过点 。

　　8、 时, 。

　　9、 。

　　其中 为内切圆半径, 为外接圆半径。

　　特别地:直角 中,设c为斜边,则内切圆半径 ,外接圆半径 。

　　10、 的图象 的图象( 时,向左平移 个单位, 时,向右平移 个单位)。

　　11、解题时,条件中若有 出现,则可设 ,

　　则 。

　　12、等腰三角形 中,若 且 ,则 。

　　13、若等边三角形的边长为 ,则其中线长为 ,面积为 。

　　14、 ;

函数教案 篇4

　　第三课时（2.1,2.2）

　　教学目的：1.初步掌握分段函数与简单的复合函数，会求它们的解析式，定义域，值域.

　　2.会画函数的图象，掌握数形结合思想，分类讨论思想.

　　重点难点：分段函数的概念及其图象的画法.

　　教学过程：

　　一、                        复习  函数的概念，函数的表示法

　　二、 例题

　　例1.          已知    . 求f(f(f(-1)))

　　（从里往外“拆”）例2.          已知f(x)=x2-1  g(x)= 求f[g(x)]    （介绍复合函数的概念）例3. 若函数 的定义域为[-1，1]，求函数 的定义域。例3.          作出函数 的图像（先化为分段函数，再作图象）例5.作函数y=|x-2|(x＋1)的图像.     （先化为分段函数，再作图象.图象见课件第一页）例6.作出函数 的图象        （用列表法先作第一象限的图象，再根据对称性作第三象限的图象. 图象见课件第二页，进一步介绍函数 的图象，见课件第三页）

　　三、        课堂练习  课本p56 习题2.1  3，6

　　四、        作业  课本p56 习题2.1  4，5 ，《精析精练》p65 智能达标训练

函数教案 篇5

　　第四课时（2.1，2.2）教学目的：1.掌握求函数值域的基本方法（直接法、换元法、判别式法）；掌握二次函数值域（最值）或二次函数在某一给定区间上的值域（最值）的求法.2.培养观察分析、抽象概括能力和归纳总