1 第 42 届全国中学生物理竞赛预赛试题解答及评分标准 （2025 年 9 月 6 日 9:00-12:00） 一、选择题（本题 60 分，共 5 小题，每小题 12 分。在每小题给出的 4 个选项中，有的小题只有一项符合题意，有的小题有多项符合题意。将符合题意的选项前面的英文字母写在答题纸上相应小题题号后面的括号内。全部选对的给 12 分，选对但不全的给 6 分，有选错或不答的给 0 分。） 1. B 2. A 3. A 4. D 5. BD 二、填空题（本题 100 分，共 5 小题，每小题 20 分，每空 10 分。把答案填在答题纸上相应题号后面的下横线上。只需给出结果，不要写出求得结果的过程。） 6. 3𝑅𝑚𝑔 sin 𝜃 − 𝜇 cos 𝜃2𝐵2𝐿2, 3𝑅(𝑚𝑔)2 sin 𝜃 − 𝜇 cos 𝜃2𝐵2𝐿2sin 𝜃 7. √√3𝑔𝑙, 6𝑚𝑔 8. 7.7, 1.8 × 102 9. 24， 6.2 10. 3.7，7 三、计算题（本题 240 分，共 6 小题，每小题 40 分。计算题的解答应写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤，只写最后结果的不给分。有数值计算的，答案中必须明确写出数值，有单位的必须写出单位。） 11. （1）对于入射到介质 1、2 的交界面上的 A 点的光线，令入射角为 Ai ，反射角为Ar ，折射角为 At ，如题解图 11a 所示。由折射定律得 1A2Asinsin=nint ① 由反射定律得 Ai = Ar ② 由题设，光线在 A 点的反射光线和折射光线相互垂直，即 AAπ2+=it ③ 折射光线到达介质 2、3 的交界面上的 B 点，令入射角为 Bi ，反射角为Br ，折射角为Bt ，同样有 2B3Bsinsin=nint ④ Bi = Br ⑤ 由题给条件，折射光线在 B 点刚好能发生全反射，因而 Bπt = 2 ⑥ 由几何关系得 题解图 11a 2 Bi = Ar ⑦ 由④⑤⑥⑦式得 2A3sin=ntn ⑧ 由①②③式得 A1A2sincos=tntn ⑨ 由⑨式得 1A2212sin=+ntnn ⑩ 由⑧⑩式得 1232212=+n nnnn ⑪ （2）如题解图 11b，以某一初始入射角 Ai 入射到介质 1、2 的交界面上的 A 点，折射角为At 。注意，此时限制条件③⑥不一定满足。但⑪式不受入射角的取值的影响，仍成立，因而有 13222212nnnnnn=+ ⑫ 可见，光线在介质 2 中入射到介质 2、3 的交界面上反射时，不会发生半波损失。* 同理，由于 1n 2n ⑬ 光线在介质 1 中入射到介质 1、2 的交界面上反射时，也不会发生半波损失。 ** A 点的折射光线经介质 2、3 交界面上的 B 点反射后，再经介质 1、2 交界面上的 C 点折射。光线在 A、B 和 C 三点入射角、反射角、折射角分别以（1）中类似记号打撇号表示，它们满足相应的折射定律公式与反射定律公式以及几何关系。 由于介质 1、2 的交界面和介质 2、3 交界面相互平行，在介质 1 中光线 a 和 b 也相互平行。在介质 1中自 C 点向光线 a 作垂线交光线 a 于 D 点。由几何关系可知 AACD= i ⑭ 经凸透镜汇聚后在其焦平面的光线 a 和 b 的光程差为 ba21AAC2AB2sin2=− lnni ⑮ 利用⑭⑮式、折射定律、反射定律和几何关系得 Aba21AAAsin22sincoscostdlnn ditt= − ⑯ 利用①式，⑯式可化简为 ba2A2cos =ldnt ⑰ a 和 b 经凸透镜汇聚后在其焦平面上发生干涉，观察到第一级亮条纹，因而 lba= ⑱ 由⑰⑱式得 2A2dn cost= ⑲ 由①⑲式得 题解图 11b 3 2222212A224(1sin)=− nd nin ⑳ 此即 22A2212arcsin14ninn d=− ㉑ 评分标准：本题 40 分。 第（1）问 20 分，①式 3 分，②式 2 分，③式 1 分，④⑤式各 2 分，⑥⑦式各 1 分，⑧式 2 分， ⑨式 1 分，⑩式 3 分，⑪式 2 分； 第（2）问 20 分，⑫式 2 分，*1 分，**1 分，⑭式 2 分，⑮式 3 分，⑯⑰⑱式各 2 分，⑲式 1 分， ⑳㉑式各 2 分。 12. （1）在 -yx平面内将原坐标系S 绕𝑧轴沿顺指针方向旋转 45 ，形成新的坐标系S ，如题解图 12a 所示。 新坐标系S 中的基矢 i 、 j 为 1...
