1 第 42 届全国中学生物理竞赛复赛试题参考解答 （2025 年 9 月 20 日 9:00-12:00） 一. （45 分） （1）将分布函数𝑓(𝒓, 𝒗)写为 𝑓(𝒓,𝒗) = 𝑐𝑓�(𝑥, 𝑣�) 𝑓��𝑦, 𝑣��𝑓�(𝑧, 𝑣�)① 其中𝑐为归一化系数，且 𝑓�(𝑖, 𝑣) = exp�− 𝑚𝜔��𝑖� + 𝑚𝑣��2𝑘�𝑇� , 𝑖 = 𝑥, 𝑦, 𝑧② 由总原子数为𝑁知 𝑁 = ∫ 𝑓(𝒓, 𝒗)d𝒓d𝒗③由②和并利用积分公式，对𝑖(𝑖 = 𝑥, 𝑦, 𝑧)方向，得 � 𝑓� (𝑖, 𝑣�)d𝑖d𝑣� = �𝑒����������� d𝑖 �𝑒� ��������d𝑣�������= 2π𝑘�𝑇𝑚𝜔� ④ 联立①②③④式解得 𝑐 = 𝑁 �𝑚2𝜋𝑘�𝑇��𝜔�𝜔�𝜔�⑤ 𝑓(𝒓, 𝒗) = 𝑁 �𝑚2𝜋𝑘�𝑇��𝜔�𝜔�𝜔� exp�− 𝑚(𝜔��𝑥� + 𝜔��𝑦�+𝜔��𝑧�)2𝑘�𝑇� exp�− 𝑚�𝑣�� + 𝑣�� + 𝑣���2𝑘�𝑇� ⑥ （2）设𝑡时刻位于(𝑥, 𝑦, 𝑧 = ℎ)、速度为(𝑣�,𝑣�,𝑣�)的原子在𝑡 = 0时位于(𝑥′, 𝑦′, 𝑧′)，速度为(𝑣�′, 𝑣�′, 𝑣�′)，则由自由落体运动规律可知 𝑥� + 𝑣�𝑡 = 𝑥, 𝑦� + 𝑣�𝑡 = 𝑦⑦ 𝑧� + 𝑣��𝑡 +���� = ℎ⑧ 𝑣�� = 𝑣� ,𝑣�� = 𝑣�⑨ 𝑣�� + 𝑔𝑡 = 𝑣�⑩ 𝑡时刻𝑧 = ℎ平面附近的原子的纵向数密度为 𝑛(𝑡) = 𝑐∫ 𝑓�(𝑥�,𝑣��)𝑓��𝑦�,𝑣���𝑓�(𝑧�,𝑣��)d𝑥d𝑦 d𝑣�d𝑣�d𝑣� ⑪ 联立②⑦⑧⑨⑩⑪式，对𝑥, 𝑦, 𝑣�, 𝑣�积分得 𝑛(𝑡) = 𝑁𝑚𝜔�2π𝑘�𝑇 �𝑓� �ℎ − (𝑣� − 𝑔𝑡)𝑡 − 𝑔𝑡�2 , 𝑣� − 𝑔𝑡� d𝑣� ��� ⑫ 联立②⑫式并利用积分式得 𝑛(𝑡) = 𝑁𝑚𝜔�2π𝑘�𝑇 �exp�− 𝑚(1 + 𝜔��𝑡�)2𝑘�𝑇�𝑣� −𝜔��ℎ�𝑡1 + 𝜔��𝑡���−𝑚𝜔��ℎ��2𝑘�𝑇(1 + 𝜔��𝑡�)� d𝑣���� = 𝑁 �𝑚𝜔��2π𝑘�𝑇(1 + 𝜔��𝑡�)���exp⎣⎢⎢⎢⎡−𝑚𝜔�� �ℎ − 𝑔𝑡�2 ��2𝑘�𝑇(1 + 𝜔��𝑡�)⎦⎥⎥⎥⎤⑬ 𝑡时刻通过𝑧 = ℎ平面的原子流为 𝐼(𝑡) = 𝑐 � 𝑓�(𝑥�, 𝑣��)𝑓��𝑦�, 𝑣���𝑓�(𝑧�, 𝑣��) 𝑣�d𝑥d𝑦 d𝑣�d𝑣�d𝑣�⑭ 联立②⑦⑧⑨⑩⑭式，对𝑥, 𝑦, 𝑣�, 𝑣�积分得 𝐼(𝑡) = 𝑁𝑚𝜔�2π𝑘�𝑇 �𝑓� �ℎ − (𝑣� − 𝑔𝑡)𝑡 − 𝑔𝑡�2 , 𝑣� − 𝑔𝑡����𝑣�d𝑣�⑮ 2 联立②⑮式，并做变量替换 𝑣� = 𝑣��� +𝜔��𝑡 �ℎ − 𝑔𝑡�2 �1 + 𝜔��𝑡� 得 𝐼(𝑡) = 𝑁𝑚𝜔�2π𝑘�𝑇 �exp⎣⎢⎢⎢⎡− 𝑚(1 + 𝜔��𝑡�)𝑣����2𝑘�𝑇−𝑚𝜔�� �ℎ − 𝑔𝑡�2 ��2𝑘�𝑇(1 + 𝜔��𝑡�)⎦⎥⎥⎥⎤���× �𝑣��� + 𝑔𝑡 +𝜔��ℎ�𝑡1 + 𝜔��𝑡�� 𝑑𝑣���⑯ 利用⑯式和积分公式得 𝐼(𝑡) = 𝑁 �𝑚𝜔��2π𝑘�𝑇(1 + 𝜔��𝑡�)����𝑔𝑡 +𝜔��𝑡 �ℎ − 𝑔𝑡�2 �1 + 𝜔��𝑡�� exp⎣⎢⎢⎢⎡−𝑚𝜔�� �ℎ − 𝑔𝑡�2 ��2𝑘�𝑇(1 + 𝜔��𝑡�)⎦⎥⎥⎥⎤⑰ （3） 约束很强时，𝜔� → ∞，由⑬式得，𝑛(𝑡)可近似为 𝑛(𝑡) ≈ 𝑁 �𝑚2𝜋𝑘�𝑇��� 𝑡�� exp⎣⎢⎢⎢⎡−𝑚 �ℎ − 𝑔𝑡�2 ��2𝑘�𝑇𝑡�⎦⎥⎥⎥⎤⑱ 为使𝑛(𝑡)最大，应有d𝑛/d𝑡 = 0，将⑱式对𝑡求导并令其为零得 0 = 𝑚 �ℎ� − �𝑔𝑡�2 ��� − 𝑘�𝑇𝑡�⑲ 在低温极限下，令上式的解为𝑡� = 𝑡� + δ𝑡，代入上式并只保留到δ𝑡或𝑇中任意一个的最低阶，得 0 = 𝑚 �ℎ� − 𝑔�4 𝑡��� − 𝑚 𝑔�4 4𝑡��δ𝑡 − 𝑘�𝑇𝑡�� + 𝒪(𝑇�, δ𝑡�, 𝑇δ𝑡)⑳ 令⑳式中的领头阶和次领头阶均为零，联立解得 𝑡� = �2ℎ𝑔 , δ𝑡 = − 𝑘�𝑇2𝑚𝑔ℎ �2ℎ𝑔㉑ 即 𝑡� = �1 − 𝑘�𝑇2𝑚𝑔ℎ� �2ℎ𝑔㉒ 当约束很强时，由⑰式得 𝐼(...
