第1页，共 5 页 第42届全国中学生物理竞赛复赛试题 （2025 年 9 月 20 日上午 9:00-12:00） 考生须知 1、 考生考试前务必认真阅读本须知。 2、 本试题共 7 道题，5 页，总分为 320 分。 3、 如遇试题印刷不清楚的情况，请务必及时向监考老师提出。 4、 需要阅卷老师评阅的内容一定要写在答题纸上；写在试题纸和草稿纸上的解答一律不给分。 一. （45 分）一磁光陷阱中约束的𝑁个原子构成的原子气处于绝对温度为𝑇的平衡态。在位置𝒓 = (𝑥, 𝑦, 𝑧)、速度为𝒗 = (𝑣�, 𝑣�,𝑣�)的原子数密度𝑓(𝒓, 𝒗)服从玻尔兹曼分布 𝑓(𝒓, 𝒗) ∝ exp �− 𝑚(𝜔��𝑥� + 𝜔��𝑦�+𝜔��𝑧�)2𝑘�𝑇� exp�− 𝑚�𝑣�� + 𝑣�� + 𝑣���2𝑘�𝑇� 其中𝜔�为𝑖(𝑖 = 𝑥, 𝑦, 𝑧)方向上陷阱对原子气的约束强度，𝑚为原子质量，𝑘�为玻尔兹曼常量，T 为绝对温度。取竖直向下为𝑧轴正方向。在陷阱正下方𝑧 = ℎ（ℎ > 0)处有一探测器，可测量𝑧 = ℎ平面附近的原子的纵向数密度（即此平面附近𝑧方向单位高度内的原子数）和通过该平面的原子流（即单位时间由上至下通过该平面的净原子数）。重力加速度大小为𝑔，忽略原子间的碰撞。在𝑡 = 0时将陷阱撤除。 （1） 求陷阱撤除前，平衡态下完整的分布函数𝑓(𝒓, 𝒗)； （2） 求某𝑡 > 0时刻，在𝑧 = ℎ平面附近的原子的纵向数密度𝑛(𝑡)，以及通过该平面的原子流𝐼(𝑡)； （3） 在原子气温度极低、约束很强的条件下，可通过测量𝑛(𝑡)的最大值所对应的时间𝑡�或者𝐼(𝑡)的最大值所对应的时间𝑡�求得温度𝑇. 在温度极低、约束很强的极限下，求𝑡�和𝑡�的表达式（准确到温度的非零的最低阶）。 （4） 在原子气温度极低、约束很强的极限下，在𝑡 = 𝑡�附近，𝑛(𝑡) ≈ 𝑛�exp �−(����)����� �，其中𝑛�为与𝑡无关的量，𝜎�是上述（高斯）分布函数的有效展宽。实验上若测得此有效展宽，可用来估计温度𝑇. 求𝜎�的表达式（准确到温度的非零的最低阶）。 提示：∫𝑒���d𝑥��= √�� ，∫𝑥�𝑒���d𝑥��= √�� 。 二.（45 分）重离子束探针是目前唯一可直接测量磁约束聚变等离子体芯部电势的仪器，其测量原理如图 2a 所示：向等离子体入射的一束重离子束中，每个离子的电荷量为𝑞� = 𝑒（𝑒为元电荷的电荷量，𝑒 > 0），初始入射动能为𝐾�；在等离子体内该重离子束中的离子直接电离产生电荷量为𝑞� = 2𝑒的二次离子；在某个位置产生的二次离子束在外部磁场的偏转下离开等离子体，恰好被能量分析器接收；能量分析器可以测量二次离子束进入狭缝的动能𝐾�. 已知电势在等离子体外均为零。相对论效应可忽略。 重离子束探针中常用的能量分析器是普罗卡-格林平行板能量分析器，其结构简图如图 2b 所示：两平行电极板间距为𝑑，上电极板电压为𝑉�, 下电极板电压为 0；在能量分析器中二次离子束经过的各区域中，仅两平行板之间存在均匀电场，其余空间不存在电场或磁场。假设二次离子束的速度平行于纸面。 （1）一离子束在距离下电极板𝑌��处（入射板狭缝中心）入射，入射角为𝜃�，在距离下电极板𝑌��处被一接收板（狭图 2a 图 2b 图 2b 第2页，共 5 页 缝中心）接收，其被接收时距离入射点的水平距离为𝑋�. （1.1）试写出 𝑋� 的表达式。 （1.2）为了减小入射角度细微偏差对测量结果的影响，要求入射角满足二级聚焦条件，即当入射角发生极小变化𝛥𝜃时，𝑋�的变化是一个与(𝛥𝜃)�同阶的量。试确定满足二级聚焦条件的入射角𝜃�（𝜃�在0 ∼��之间），并给出𝑋�和𝑉�的表达式。 （1.3）若能量分析器已经根据上面的二级聚焦条件放置，入射板和接收板与水平方向的夹角分别为𝜃�和𝜃�，某二次束离子在入射到能量分析器时其与狭缝中心的距离为𝑙, 求其在接收板平面上距接收板中心的距离𝑠 (𝑙,𝑠大于零表示在下半平面，小于零表示在上半平面)。 （2）工程安装误差和入射束动能𝐾�的波动会导致能量分析器并不严格满足二级聚焦条件。已知入射板的缝宽为𝑤. （2.1）求...
