2023-2024 学年广东省惠州市惠东中学高三下第一次测试数学试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．如图，在直三棱柱中，，，点分别是线段的中点，，分别记二面角，，的平面角为，则下列结论正确的是（ ）A．B．C．D．2．在中，内角所对的边分别为，若依次成等差数列，则（ ）A．依次成等差数列B．依次成等差数列C．依次成等差数列D．依次成等差数列3．已知正四面体的棱长为 ，是该正四面体外接球球心，且，，则（ ）A．B．C．D．4．已知函数 f（x）＝eb﹣x﹣ex﹣b+c（b，c 均为常数）的图象关于点（2，1）对称，则 f（5）+f（﹣1）＝（ ）A．﹣2B．﹣1C．2D．45．已知正方体的棱长为 2，点在线段上，且，平面经过点，则正方体被平面截得的截面面积为（ ）A．B．C．D．6．若、满足约束条件，则的最大值为（ ）A．B．C．D．7．某校在高一年级进行了数学竞赛（总分 100 分），下表为高一·一班 40 名同学的数学竞赛成绩：555759616864625980889895607388748677799497100999789818060796082959093908580779968如图的算法框图中输入的为上表中的学生的数学竞赛成绩，运行相应的程序，输出，的值，则（ ）A．6B．8C．10D．128．若复数满足，则对应的点位于复平面的（ ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限9．如图，平面 ABCD，ABCD 为正方形，且，E，F 分别是线段 PA，CD 的中点，则异面直线 EF 与BD 所成角的余弦值为（ ）A．B．C．D．10．函数的大致图象是A．B．C．D．11．的展开式中的系数为（ ）A．B．C．D．12．已知双曲线与双曲线没有公共点，则双曲线的离心率的取值范围是( )A．B．C．D．二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13．正方体中，是棱的中点，是侧面上的动点，且平面，记与的轨迹构成的平面为．①，使得；② 直线与直线所成角的正切值的取值范围是；③与平面所成锐二面角的正切值为；④ 正方体的各个侧面中，与所成的锐二面角相等的侧面共四个．其中正确命题的序号是________．（写出所有正确命题的序号）14．若函数的图像上存在点，满足约束条件，则实数的最大值为__________．15．已知等比数列满足，，则该数列的前 5 项的和为______________.16．在各项均为正数的等比数列中，，且，成等差数列，则___________.三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12 分）在直角坐标系中，直线 的参数方程为（ 为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求和 的直角坐标方程；（2）已知为曲线上的一个动点，求线段的中点到直线 的最大距离．18．（12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，PA⊥平面 ABCD，∠ABC＝∠BAD＝90°，AD＝AP＝4，AB＝BC＝2，M为 PC 的中点．（1）求异面直线 AP，BM 所成角的余弦值；（2）点 N 在线段 AD 上，且 AN＝λ，若直线 MN 与平面 PBC 所成角的正弦值为，求 λ 的值．19．（12 分）某学生为了测试煤气灶烧水如何节省煤气的问题设计了一个实验，并获得了煤气开关旋钮旋转的弧度数x 与烧开一壶水所用时间 y 的一组数据，且作了一定的数据处理（如表），得到了散点图（如图）.表中，.（1）根据散点图判断，与哪一个更适宜作烧水时间 y 关于开关旋钮旋转的弧度数 x 的回归方程类型？（不必说明理由）（2）根据判断结果和表中数据，建立 y 关于 x 的回归方程；（3）若旋转的弧度数 x 与单位时间内煤气输出量 t 成正比，那么 x 为多少时，烧开一壶水最省煤气？附：对于一组数据，，，…，，其回归直线...
