2023-2024学年甘肃省兰州市第五十一中学高三下学期第五次调研考试数学试题注意事项铅笔作答；第二部分必须用黑1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知等比数列满足，，等差数列中，为数列的前项和，则（）A．36B．72C．D．2．已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成的角的正弦值为（）．A．B．C．D．3．过抛物线的焦点且与的对称轴垂直的直线与交于，两点，，为的准线上的一点，则的面积为（）B．2A．1C．4D．84．已知随机变量服从正态分布，且，则（）A．B．C．D．5．已知集合，集合，则等于（）A．B．C．D．6．设实数、满足约束条件，则的最小值为（）C．16D．14A．2B．247．达芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名.如图，画中女子神秘的微笑，，数百年来让无数观赏者人迷.某业余爱好者对《蒙娜丽莎》的缩小影像作品进行了粗略测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角处作圆弧的切线，两条切线交于点，测得如下数据：（其中）.根据测量得到的结果推算：将《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角大约等于（）A．B．C．D．8．已知函数.设，若对任意不相等的正数，，恒有，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．9．函数的大致图象是（）A．B．C．D．10．已知向量，，当时，（）A．B．C．D．11．下列说法正确的是（）A．“若，则”的否命题是“若，则”B．“若，则”的逆命题为真命题C．，使成立D．“若，则”是真命题12．已知为圆：上任意一点，，若线段的垂直平分线交直线于点，则点的轨迹方程为()A．B．C．（）D．（）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。，且与的等差中项为，则__________.13．已知为等比数列，是它的前项和.若14．如图是九位评委打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均分为_______．15．若正实数，，满足，则的最大值是__________．16．已知函数有且只有一个零点，则实数的取值范围为__________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知数列和满足：.（1）求证:数列为等比数列；（2）求数列的前项和.18．（12分）如图，三棱柱中，侧面为菱形，.（1）求证：平面；（2）若，求二面角的余弦值.19．（12分）已知在等比数列中，.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列前项的和.20．（12分）已知点和椭圆.直线与椭圆交于不同的两点，.（1）当时，求的面积；（2）设直线与椭圆的另一个交点为，当为中点时，求的值.21．（12分）已知椭圆，点，点满足（其中为坐标原点），点在椭圆上.与椭圆交于两点.且与圆（1）求椭圆的标准方程；（2）设椭圆的右焦点为，若不经过点的直线相切.的周长是否为定值?若是，求出定值；若不是，请说明理由.22．（10分）已知三棱锥中，为等腰直角三角形，，设点为中点，点为中点，点为上一点，且．（1）证明：平面；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】根据是与的等比中项，可求得，再利用等差数列求和公式即可得到.【详解】等比数列满足，，所以，又，所以，由等差数列的性质可得.故选：A【点睛】本题主要考查的是等比数列的性质，考查等差数列的求和公式，考查学生的计算能力，是中档题.2、C【解析】设M,N,P分别为和的中点，得出的夹角为MN和NP夹角或其补角，根据中位线定理，结合余弦定理求出和的余弦值再求其正弦值即可.【详解】根据题意画出图形:设M,N,P分别为和的中点，则的夹角为MN和NP夹角或其补角可知，.作BC中点Q，则为直角三角形；中，由余弦定理得，在中，在中，由余弦定理得所以故选：C【点睛】此题考查异面直线夹角，关键点通过平移将异面直线夹角转化为同一平面内的夹角，属于较易题目.3、C【解析】设抛物线的解析式，...
