2024届北京市东城区第十一中学高三压轴卷数学试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知双曲线的中心在原点且一个焦点为，直线与其相交于，两点，若中点的横坐标为，则此双曲线的方程是A．B．C．D．2．已知三棱锥且平面，其外接球体积为（）A．B．C．D．3．设a，b，c为正数，则“”是“”的（）A．充分不必要条件C．充要条件B．必要不充分条件4．已知为虚数单位，实数D．既不充分也不修要条件满足，则()A．1B．C．D．5．将函数的图像向左平移个单位长度后，得到的图像关于坐标原点对称，则的最小值为（）A．B．C．D．6．已知与函数和都相切，则不等式组所确定的平面区域在交于两点，直线内的面积为（）A．B．C．D．7．设过抛物线上任意一点(异于原点)的直线与抛物线与抛物线的另一个交点为，则（）A．B．C．D．8．已知集合，，A．，则()B．C．D．9．函数（），当时，的值域为，则的范围为（）A．B．C．D．10．我国南北朝时的数学著作《张邱建算经》有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下三人后入得金三斤，持出，中间四人未到者，亦依次更给，问各得金几何？”则在该问题中，等级较高的二等人所得黄金比等级较低的九等人所得黄金（）A．多1斤B．少1斤C．多斤D．少斤11．如图1，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题:今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺，问折者高几何?意思是:有一根竹子,原高一丈（1丈=10尺）,现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，问折断处离地面的高为（）尺.A．B．C．D．12．函数的大致图像为（）A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知，则______，______.14．在△ABC中，a＝3，，B＝2A，则cosA＝_____．15．已知，，其中，为正的常数，且，则的值为_______.16．已知等边三角形的边长为1．,点、分别为线段、上的动点,则取值的集合为__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知，函数有最小值7.（1）求的值；（2）设，，求证：.18．（12分）已知，，不等式恒成立.（1）求证:（2）求证:.，是上的一点，19．（12分）如图，平面四边形中，是的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且.（1）证明：平面平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.20．（12分）如图所示，三棱柱中，平面，点，分别在线段，上，且，，是线段的中点.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）若，，，求直线与平面所成角的正弦值.21．（12分）如图,直角三角形所在的平面与半圆弧所在平面相交于,，,分别为,的中点,是上异于,的点,.（1）证明:平面平面;（2）若点为半圆弧上的一个三等分点(靠近点)求二面角的余弦值.22．（10分）记无穷数列的前项中最大值为，最小值为，令，则称是“极差数列”.，求的前项和；（1）若（2）证明：的“极差数列”仍是；（3）求证：若数列是等差数列，则数列也是等差数列.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】根据点差法得，再根据焦点坐标得，解方程组得，，即得结果.【详解】设双曲线的方程为，由题意可得，设，，则的中点为，由且，得，，即，联立，解得，，故所求双曲线的方程为．故选D．【点睛】本题主要考查利用点差法求双曲线标准方程，考查基本求解能力，属于中档题.2、A【解析】由,平面,可将三棱锥还原成长方体,则三棱锥的外接球即为长方体的外接球,进而求解.,所以,【详解】由题,因为设,则由,可得,解得,可将三棱锥还原成如图所示的长方体,则三棱锥的外接球即为长方体的外接球,设外接球的半径为,则,所以,所以外接球的体积.故选:A【点睛】本题考查...
