2024 届山西省浑源县高三第一次模拟考试数学试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．等腰直角三角形 BCD 与等边三角形 ABD 中，，，现将沿 BD 折起，则当直线 AD 与平面 BCD 所成角为时，直线 AC 与平面 ABD 所成角的正弦值为（ ） A．B．C．D．2．设函数，则函数的图像可能为（ ）A．B．C．D．3．已知双曲线：的焦点为，，且上点满足，，，则双曲线的离心率为A．B．C．D．54．设（ 是虚数单位），则（ ）A．B．1C．2D．5．已知三棱柱( )A．B．C．D．6．设是双曲线的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点，使（为坐标原点），且，则双曲线的离心率为（ ）A．B．C．D．7．执行如图所示的程序框图，则输出的值为（ ）A．B．C．D．8．已知函数，则（ ）A．函数在上单调递增B．函数在上单调递减C．函数图像关于对称D．函数图像关于对称9．函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）A．B．C．D．10．已知（i 为虚数单位，），则 ab 等于（ ）A．2B．-2C．D．11．已知实数、满足约束条件，则的最大值为（ ）A．B．C．D．12．我国宋代数学家秦九韶（1202-1261）在《数书九章》（1247）一书中提出“三斜求积术”，即：以少广求之，以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积. 其实质是根据三角形的三边长，，求三角形面积，即. 若的面积，，，则等于（ ）A．B．C．或D．或二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13．设、满足约束条件，若的最小值是，则的值为__________.14．直线与抛物线交于两点，若，则弦的中点到直线的距离等于________.15．已知若存在，使得成立的最大正整数为 6，则的取值范围为________.16．若，则=____， = ___.三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12 分）如图，四棱锥中，平面，，，.（Ｉ）证明：；（Ⅱ）若是中点，与平面所成的角的正弦值为，求的长.18．（12 分）如图，在三棱柱中，已知四边形为矩形，，，，的角平分线交于.（1）求证:平面平面；（2）求二面角的余弦值.19．（12 分）在直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数），以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求圆的极坐标方程；（2）直线 的极坐标方程是，射线与圆的交点为、，与直线 的交点为，求线段的长.20．（12 分）在中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且.（1）求 B；（2）若的面积为，周长为 8，求 b.21．（12 分）如图，正方形是某城市的一个区域的示意图，阴影部分为街道，各相邻的两红绿灯之间的距离相等，处为红绿灯路口，红绿灯统一设置如下：先直行绿灯 30 秒，再左转绿灯 30 秒，然后是红灯 1 分钟，右转不受红绿灯影响，这样独立的循环运行.小明上学需沿街道从处骑行到处（不考虑处的红绿灯），出发时的两条路线（）等可能选择，且总是走最近路线.（1）请问小明上学的路线有多少种不同可能？（2）在保证通过红绿灯路口用时最短的前提下，小明优先直行，求小明骑行途中恰好经过处，且全程不等红绿灯的概率；（3）请你根据每条可能的路线中等红绿灯的次数的均值，为小明设计一条最佳的上学路线，且应尽量避开哪条路线？22．（10 分）如图，在斜三棱柱中，已知为正三角形，D，E 分别是，的中点，平面平面，.（1）求证：平面；（2）求证：平面.参考答案一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】设 E 为 BD 中点，连接 AE、CE，过 A 作于点 O，连接 DO，得到即为直线 AD 与平面 BCD 所成...
