2024 届广东省深圳市南头中学高三下学期一模考试数学试题请考生注意：1．请用 2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用 0．5 毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知，，，，．若实数，满足不等式组，则目标函数（ ）A．有最大值，无最小值B．有最大值，有最小值C．无最大值，有最小值D．无最大值，无最小值2．已知三棱柱的所有棱长均相等，侧棱平面，过作平面与平行，设平面与平面的交线为 ，记直线 与直线所成锐角分别为，则这三个角的大小关系为( )A．B．C．D．3．甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后甲说：丙被录用了；乙说：甲被录用了；丙说：我没被录用.若这三人中仅有一人说法错误，则下列结论正确的是（ ）A．丙被录用了B．乙被录用了C．甲被录用了D．无法确定谁被录用了4．将函数的图象沿轴向左平移个单位长度后，得到函数的图象，则“”是“是偶函数”的（ ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．函数的图像大致为（ ）.A．B．C．D． 6．命题：的否定为A．B．C．D．7．设 i 是虚数单位，若复数是纯虚数，则 a 的值为（ ）A．B．3C．1D．8．已知复数是纯虚数，其中是实数，则等于（ ）A．B．C．D．9．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的表面积为（ ）A．8B．C．D．10．已知实数，则下列说法正确的是（ ）A．B．C．D．11．一小商贩准备用元钱在一批发市场购买甲、乙两种小商品，甲每件进价元，乙每件进价元，甲商品每卖出去 件可赚 元，乙商品每卖出去 件可赚元.该商贩若想获取最大收益，则购买甲、乙两种商品的件数应分别为（ ）A．甲件，乙件B．甲件，乙件C．甲件，乙件D．甲件，乙件12．已知直线 ：过双曲线的一个焦点且与其中一条渐近线平行，则双曲线的方程为（ ）A．B．C．D．二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13．已知双曲线：（，），直线 ：与双曲线的两条渐近线分别交于，两点.若（点为坐标原点）的面积为 32，且双曲线的焦距为，则双曲线的离心率为________.14．已知函数，若在定义域内恒有，则实数的取值范围是__________．15．给出下列等式：，，，…请从中归纳出第个等式：______.16． “六艺”源于中国周朝的贵族教育体系，具体包括“礼、乐、射、御、书、数”．某校在周末学生业余兴趣活动中开展了“六艺”知识讲座，每艺安排一节，连排六节，则满足“礼”与“乐”必须排在前两节，“射”和“御”两讲座必须相邻的不同安排种数为________．三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12 分）如图，正方形所在平面外一点满足，其中分别是与的中点.（1）求证：；（2）若，且二面角的平面角的余弦值为，求与平面所成角的正弦值.18．（12 分）已知函数，其导函数为，（1）若，求不等式的解集；（2）证明：对任意的，恒有.19．（12 分）在平面四边形中，已知，.（1）若，求的面积；（2）若求的长.20．（12 分）诚信是立身之本，道德之基，我校学生会创设了“诚信水站”，既便于学生用水，又推进诚信教育，并用“”表示每周“水站诚信度”，为了便于数据分析，以四周为一周期，如表为该水站连续十二周（共三个周期）的诚信数据统计：第一周第二周第三周第四周第一周期第二周期第三周期（Ⅰ）计算表中十二周“水站诚信度”的平均数；（Ⅱ）若定义水站诚信度高于的为“高诚信度”，以下为“一般信度”则从每个周期的前两周中随机抽取两周进行调研，计算恰有两周是“高诚信度”的概率； （Ⅲ）已知学生会分别在第一个周期的第四周末和第二个周期的第四周末各举行了一次“以诚信为本”的主题教育活动，根据已有数据，说明两次主题教育活动的宣传效果，并根据已有数据陈述理由.21．（12 分）已知函数在上的最大值...
