2024 届江西省上饶市信州区上饶中学高三第二次诊断性检测数学试卷请考生注意：1．请用 2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用 0．5 毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．空间点到平面的距离定义如下：过空间一点作平面的垂线，这个点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离．已知平面，，两两互相垂直，点，点到，的距离都是 3，点是上的动点，满足到的距离与到点的距离相等，则点的轨迹上的点到的距离的最小值是（ ）A．B．3C．D．2．执行如图所示的程序框图，输出的结果为（ ）A．B．4C．D．3．已知复数，（ 为虚数单位），若为纯虚数，则（ ）A．B．2C．D．4．已知函数，若函数的极大值点从小到大依次记为，并记相应的极大值为，则的值为（ ）A．B．C．D．5．在中，为中点，且，若，则（ ）A．B．C．D．6．某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为，若低于 60 分的人数是 18 人，则该班的学生人数是（ ）A．45B．50C．55D．607．为了进一步提升驾驶人交通安全文明意识，驾考新规要求驾校学员必须到街道路口执勤站岗，协助交警劝导交通.现有甲、乙等 5 名驾校学员按要求分配到三个不同的路口站岗，每个路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有( )A．12 种B．24 种C．36 种D．48 种8．设数列是等差数列，，.则这个数列的前 7 项和等于（ ）A．12B．21C．24D．369．已知集合，集合，则（ ）A．B．C．D．10．设函数恰有两个极值点，则实数 的取值范围是（ ）A．B．C．D．11．已知正四面体的内切球体积为 v，外接球的体积为 V，则（ ）A．4B．8C．9D．2712．已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图是全等的直角三角形，则该几何体的各个面中，最大面的面积为（ ）A．2B．5C．D．二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13．数列满足递推公式，且，则___________.14．在等差数列（）中，若，，则的值是______.15．过动点作圆：的切线，其中为切点，若（为坐标原点），则的最小值是__________．16．已知圆柱的上下底面的中心分别为，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为 36 的正方形，则该圆柱的体积为____三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12 分）记函数的最小值为.（1）求的值；（2）若正数，，满足，证明：.18．（12 分）已知抛物线：（）的焦点到点的距离为.（1）求抛物线的方程；（2）过点作抛物线的两条切线，切点分别为，，点、分别在第一和第二象限内，求的面积.19．（12 分）已知变换将平面上的点，分别变换为点，．设变换对应的矩阵为．（1）求矩阵；（2）求矩阵的特征值．20．（12 分）选修 4—5；不等式选讲．已知函数．(1)若的解集非空，求实数的取值范围；(2)若正数满足，为（1）中 m 可取到的最大值，求证：．21．（12 分）已知函数（I）当时，解不等式.（II）若不等式恒成立，求实数的取值范围22．（10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程已知曲线的参数方程是（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是.（1）写出的极坐标方程和的直角坐标方程；（2）已知点、的极坐标分别为和，直线与曲线相交于，两点，射线与曲线相交于点，射线与曲线相交于点，求的值.参考答案一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】建立平面直角坐标系，将问题转化为点的轨迹上的点到轴的距离的最小值，利用到轴的距离等于到点的距离得到点轨迹方程，得到，进而得到所求最小值.【详解】如图，原题等价于在直角坐标系中，点，是第一象限内的动点，满足到轴的距离等于点到点的距离，求点的轨迹上的点到轴的距离的最小值．设，则，化简...
