2024届湖南省十三校高三（最后冲刺）数学试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知i为虚数单位，则（）A．B．C．D．2．在中，为中点，且，若，则（）A．B．C．D．3．如图，四面体中，面和面都是等腰直角三角形，，，且二面角的大小为，若四面体的顶点都在球上，则球的表面积为（）A．B．C．D．4．已知等比数列满足，，等差数列中，为数列的前项和，则（）A．36B．72C．D．5．如图所示，矩形的对角线相交于点，为的中点，若，则等于（）．A．B．C．D．6．集合中含有的元素个数为（）A．4B．6C．8D．12，且，则7．已知随机变量服从正态分布（）A．B．C．D．8．如图，在正四棱柱中，，分别为的中点，异面直线与所成角的余弦值为，则()A．直线与直线异面，且B．直线与直线共面，且D．直线与直线共面，且C．直线与直线异面，且，是的中点，则异面直线与所成的角为（）9．正三棱柱中，A．B．C．D．10．已知，则的取值范围是（）A．[0，1]B．C．[1，2]D．[0，2]11．已知双曲线的左右焦点分别为，，以线段为直径的圆与双曲线在第二象限的交点为，若直线与圆相切，则双曲线的渐近线方程是（）A．B．C．D．12．已知向量，，若，则与夹角的余弦值为（）A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知实数满足（为虚数单位），则的值为_______.14．我国古代数学著作《九章算术》中记载“今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”设人数、物价分别为、，满足，则_____，_____．15．已知向量，满足，，且已知向量，的夹角为，，则的最小值是__．16．已知，若，则________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知，，且.（1）求的最小值；（2）证明：.18．（12分）在中，角的对边分别为，且满足.（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若的面积为，，求和的值.，过点的直线交抛物线于两点，坐标原点为，19．（12分）已知抛物线.（1）求抛物线的方程；（2）当以为直径的圆与轴相切时，求直线的方程.20．（12分）已知函数.（1）证明：函数在上存在唯一的零点；（2）若函数在区间上的最小值为1，求的值.21．（12分）已知椭圆的左右焦点分别为，焦距为4，且椭圆过点，过点且不平行于坐标轴的直线交椭圆与两点，点关于轴的对称点为，直线交轴于点.（1）求的周长；（2）求面积的最大值.22．（10分）已知直线过椭圆的右焦点，且交椭圆于A，B两点，线段AB的中点是，面积的最大值.（1）求椭圆的方程；（2）过原点的直线l与线段AB相交（不含端点）且交椭圆于C，D两点，求四边形参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】根据复数乘除运算法则，即可求解.【详解】.故选：A.，即可求得结果.【点睛】本题考查复数代数运算，属于基础题题.2、B【解析】选取向量，为基底，由向量线性运算，求出【详解】，，，，，.故选：B.的平面角为【点睛】本题考查了平面向量的线性运算，平面向量基本定理，属于基础题.3、B【解析】分别取、的中点、，连接、、，利用二面角的定义转化二面角，然后分别过点作平面的垂线与过点作平面的垂线交于点，在中计算出，再利用勾股定理计算出，即可得出球的半径，最后利用球体的表面积公式可得出答案．【详解】如下图所示，分别取、...
