2024届湖南省长沙市宁乡一中高三第三次测评数学试卷请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知为定义在上的偶函数，当时，，则（）A．B．C．D．2．已知是第二象限的角，，则()A．B．C．D．3．在中，分别为所对的边，若函数B．有极值点，则的范围是（）A．C．D．4．已知向量，，且与的夹角为，则x=（）A．-2B．2C．1D．-15．已知复数满足，且，则（）A．3B．C．D．6．我国古代有着辉煌的数学研究成果，其中的《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》，有丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期．某中学拟从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为（）A．B．C．D．7．设，，，则（）A．B．C．D．8．已知斜率为k的直线l与抛物线交于A，B两点，线段AB的中点为，则斜率k的取值范围是（）A．B．C．D．9．已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，且抛物线的准线被双曲线截得的线段长为，那么该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．10．已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点，则的值为（）A．B．C．D．11．如图，在三棱锥中，平面，，现从该三棱锥的个表面中任选个，则选取的个表面互相垂直的概率为（）A．B．C．D．12．设，满足，则的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在平面直角坐标系中，曲线上任意一点到直线的距离的最小值为________．14．实数，满足约束条件，则的最大值为__________.15．曲线在点处的切线方程为__．16．过抛物线C：（）的焦点F且倾斜角为锐角的直线l与C交于A，B两点，过线段的中点N且垂直于l的直线与C的准线交于点M，若，则l的斜率为______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，在正四棱锥中，，点、分别在线段、上，．（1）若，求证：⊥；（2）若二面角的大小为，求线段的长．18．（12分）在中，角的对边分别为，且.（1）求角的大小；（2）已知外接圆半径,求的周长.19．（12分）已知件次品和件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出件次品或者检测出件正品时检测结束．（1）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；（2）已知每检测一件产品需要费用元，设表示直到检测出件次品或者检测出件正品时所需要的检测费用（单位：元），求的分布列．，直线与交于，两点，且.20．（12分）已知抛物线（1）求的值；（2）如图，过原点的直线与抛物线交于点，与直线交于点，过点作轴的垂线交抛物线于点，证明：直线过定点.21．（12分）设（1）当时，求不等式的解集；（2）若，求的取值范围.22．（10分）已知分别是椭圆的左、右焦点，直线与交于两点，，且．（1）求的方程；（2）已知点是上的任意一点，不经过原点的直线与交于两点，直线的斜率都存在，且，求的值．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】判断，利用函数的奇偶性代入计算得到答案.【详解】 ，∴．故选：【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性求值，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.2、D【解析】利用诱导公式和同角三角函数的基本关系求出,再利用二倍角的正弦公式代入求解即可.【详解】因为,由诱导公式可得,,即,因为,所以,由二倍角的正弦公式可得,,所以.故选:D【点睛】本题考查诱导公式、同角三角函数的基本关系和二倍角的正弦公式;考查运算求解能力和知识的综合运用能力;属于中档题.3、D【解析】试题分析：由已知可得有两个不等实根.考点：1、余弦定理...
