2024 届福建省厦门大学附属科技中学高考仿真模拟数学试卷请考生注意：1．请用 2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用 0．5 毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．棱长为 2 的正方体内有一个内切球，过正方体中两条异面直线，的中点作直线，则该直线被球面截在球内的线段的长为（ ）A．B．C．D．12．已知函数为奇函数，则（ ）A．B．1C．2D．33．已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布，从中随机取一件，其长度误差落在区间（3,6）内的概率为（ ）（附：若随机变量 ξ 服从正态分布，则，．）A．4.56%B．13.59%C．27.18%D．31.74%4．函数在上的图象大致为（ ）A． B． C． D． 5．已知函数（），若函数有三个零点，则的取值范围是（ ）A．B．C．D．6．已知函数，则下列判断错误的是（ ）A．的最小正周期为B．的值域为C．的图象关于直线对称D．的图象关于点对称7．若复数是纯虚数，则实数的值为( )A．或B．C．D． 或8．在中，，则 （ ）A．B．C．D．9．已知为实数集，，，则（ ）A．B．C．D．10．在菱形中，，，，分别为，的中点，则（ ）A．B．C．5D．11．以，为直径的圆的方程是A．B．C．D．12．如图，在直三棱柱中，，，点分别是线段的中点，，分别记二面角，，的平面角为，则下列结论正确的是（ ）A．B．C．D．二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13．已知 i 为虚数单位，复数，则＝_______．14．若函数为偶函数，则 ．15．复数（其中 i 为虚数单位）的共轭复数为________.16．已知函数，且，，使得，则实数 m 的取值范围是______.三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12 分）已知函数（I）当时，解不等式.（II）若不等式恒成立，求实数的取值范围18．（12 分）已知函数，.(1)求的值；(2)令在上最小值为，证明：.19．（12 分）某中学准备组建“文科”兴趣特长社团，由课外活动小组对高一学生文科、理科进行了问卷调查，问卷共 100 道题，每题 1 分，总分 100 分，该课外活动小组随机抽取了 200 名学生的问卷成绩（单位：分）进行统计，将数据按照，，，，分成 5 组，绘制的频率分布直方图如图所示，若将不低于 60 分的称为“文科方向”学生，低于 60 分的称为“理科方向”学生.理科方向文科方向总计男110女50总计（1）根据已知条件完成下面列联表，并据此判断是否有 99%的把握认为是否为“文科方向”与性别有关？（2）将频率视为概率，现在从该校高一学生中用随机抽样的方法每次抽取 1 人，共抽取 3 次，记被抽取的 3 人中“文科方向”的人数为，若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列、期望和方差.参考公式：，其中.参考临界值： 0.100.050.0250.0100.0050.001 2.7063.8415.0246.6357.87910.82820．（12 分）已知函数.（1）当时，解不等式；（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.21．（12 分）已知数列的前项和为，且满足．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）证明：．22．（10 分）如图所示，在四棱锥中，底面为正方形，，，，，为的中点，为棱上的一点.（1）证明：面面；（2）当为中点时，求二面角余弦值.参考答案一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】连结并延长 PO，交对棱 C1D1于 R，则 R 为对棱的中点，取 MN 的中点 H，则 OH⊥MN，推导出 OH∥RQ，且 OH＝RQ＝，由此能求出该直线被球面截在球内的线段的长．【详解】如图，MN 为该直线被球面截在球内的线段连结并延长 PO，交对棱 C1D1于 R，则 R 为对棱的中点，取 MN 的中点 H，则 OH⊥MN，∴OH∥RQ，且 OH＝RQ＝，∴MH＝＝＝，∴MN＝．故选：C．【点睛】本题主要考查该直线被球面截在球内的线段的长...
