2024 届福建省永安市一中高三最后一卷数学试卷请考生注意：1．请用 2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用 0．5 毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．正方形的边长为，是正方形内部（不包括正方形的边）一点，且，则的最小值为（ ）A．B．C．D．2．设，是非零向量，若对于任意的，都有成立，则A．B．C．D．3．已知双曲线（）的渐近线方程为，则（ ）A．B．C．D．4．设，是方程的两个不等实数根，记（）.下列两个命题（ ）① 数列的任意一项都是正整数；② 数列存在某一项是 5 的倍数.A．①正确，②错误B．①错误，②正确C．①②都正确D．①②都错误5．已知全集，集合，则=（ ）A．B．C．D．6．下列命题为真命题的个数是（ ）（其中， 为无理数）①；②；③.A．0B．1C．2D．37．一小商贩准备用元钱在一批发市场购买甲、乙两种小商品，甲每件进价元，乙每件进价元，甲商品每卖出去 件可赚 元，乙商品每卖出去 件可赚元.该商贩若想获取最大收益，则购买甲、乙两种商品的件数应分别为（ ）A．甲件，乙件B．甲件，乙件C．甲件，乙件D．甲件，乙件8．设全集，集合，.则集合等于（ ）A．B．C．D．9．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点 P 是 C 的右支上一点，连接与 y 轴交于点 M，若（O 为坐标原点），，则双曲线 C 的渐近线方程为（ ）A．B．C．D．10．以下关于的命题，正确的是A．函数在区间上单调递增B．直线需是函数图象的一条对称轴C．点是函数图象的一个对称中心D．将函数图象向左平移需个单位，可得到的图象11．如图，在四边形中，，，，，，则的长度为（ ）A．B．C．D．12．如图，在中， ，是上的一点，若，则实数的值为（ ）A．B．C．D．二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13．若满足约束条件，则的最大值为__________．14．已知实数满约束条件，则的最大值为___________.15．在二项式的展开式中，的系数为________.16．过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，，则的最小值是______.三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12 分）已知函数.（1）当 a=2 时，求不等式的解集；（2）设函数.当时，，求的取值范围.18．（12 分）如图，在三棱柱中， 平面 ABC.（1）证明：平面平面（2）求二面角的余弦值.19．（12 分）设为等差数列的前项和，且，．（1）求数列的通项公式；（2）若满足不等式的正整数恰有个，求正实数的取值范围．20．（12 分）已知抛物线的焦点为，准线 与轴交于点，点在抛物线上，直线与抛物线交于另一点.（1）设直线，的斜率分别为，，求证：常数；（2）①设的内切圆圆心为的半径为，试用表示点的横坐标；② 当的内切圆的面积为时，求直线的方程.21．（12 分）在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知：，：，：.（1）求与的极坐标方程（2）若与交于点 A，与交于点 B，，求的最大值.22．（10 分）已知函数（ 是自然对数的底数，）.（1）求函数的图象在处的切线方程；（2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围；（3）若函数在区间上有两个极值点，且恒成立，求满足条件的的最小值（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）.参考答案一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】分别以直线为轴，直线为轴建立平面直角坐标系，设，根据，可求，而，化简求解.【详解】解：建立以为原点，以直线为轴，直线为轴的平面直角坐标系.设，，，则，，由，即，得.所以=，所以当时，的最小值为.故选：C.【点睛】本题考查向量的数量积的坐标表示，属于基础题.2、D【解析】画出，，根据向量的加减法，分别画出的几种情况，由数形结合可得结果.【详解】由题意，得向量...
