2024 届福建省福安市第一中学高三 3 月份第一次模拟考试数学试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知在中，角的对边分别为，若函数存在极值，则角的取值范围是（ ）A．B．C．D．2．已知幂函数的图象过点，且，，，则，，的大小关系为（ ）A．B．C．D．3．函数在上的图象大致为（ ）A． B． C． D． 4．在声学中，声强级（单位：）由公式给出，其中为声强（单位：）.，，那么（ ）A．B．C．D．5．已知等差数列的前项和为，且，则（ ）A．45B．42C．25D．366．已知数列为等差数列，为其前项和，，则（ ）A．7B．14C．28D．847．已知函数，若,且 ，则的取值范围为（ ）A．B．C．D．8．《易经》包含着很多哲理，在信息学、天文学中都有广泛的应用，《易经》的博大精深，对今天 的几何学和其它学科仍有深刻的影响．下图就是易经中记载的几何图形——八卦田，图中正八 边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，八块面积相等的曲边梯形代表八卦田．已知正八边 形的边长为，阴阳太极图的半径为，则每块八卦田的面积约为（ ）A．B．C．D．9．已知，，若，则向量在向量方向的投影为（ ）A．B．C．D．10．小张家订了一份报纸，送报人可能在早上之间把报送到小张家，小张离开家去工作的时间在早上之间.用表示事件：“小张在离开家前能得到报纸”，设送报人到达的时间为，小张离开家的时间为，看成平面中的点，则用几何概型的公式得到事件的概率等于（ ）A．B．C．D．11．记单调递增的等比数列的前项和为，若，，则（ ）A．B．C．D．12．展开式中 x2的系数为( )A．－1280B．4864C．－4864D．1280二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13．已知双曲线的一条渐近线方程为，则________．14．如图所示，在直角梯形中，，、分别是、上的点，，且（如图①）.将四边形沿折起，连接、、（如图②）.在折起的过程中，则下列表述： ①平面；② 四点、、、可能共面；③ 若，则平面平面；④ 平面与平面可能垂直.其中正确的是__________.15．若,则=______,=______.16．一个袋中装着标有数字 1，2，3，4，5 的小球各 2 个，从中任意摸取 3 个小球，每个小球被取出的可能性相等，则取出的 3 个小球中数字最大的为 4 的概率是__．三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12 分）已知数列中，（实数为常数），是其前项和，且数列是等比数列，恰为与的等比中项．（1）证明：数列是等差数列； （2）求数列的通项公式；（3）若，当时，的前项和为，求证：对任意，都有．18．（12 分）某企业对设备进行升级改造，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了 100 件产品作为样本，检测一项质量指标值，该项质量指标值落在区间内的产品视为合格品，否则视为不合格品，如图是设备改造前样本的频率分布直方图，下表是设备改造后样本的频数分布表.图：设备改造前样本的频率分布直方图表：设备改造后样本的频率分布表质量指标值频数2184814162（1）求图中实数的值；（2）企业将不合格品全部销毁后，对合格品进行等级细分，质量指标值落在区间内的定为一等品，每件售价240 元；质量指标值落在区间或内的定为二等品，每件售价 180 元；其他的合格品定为三等品，每件售价 120 元，根据表 1 的数据，用该组样本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的频率代替从所有产品中抽到一件相应等级产品的概率.若有一名顾客随机购买两件产品支付的费用为(单位：元)，求的分布列和数学期望.19．（12 分）已知抛物线的焦点为，直线 交于两点（异于坐标原点 O）....
