2024 届福建省福州第一中学高三下学期联合考试数学试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．a 为正实数，i 为虚数单位，，则 a=（ ）A．2B．C．D．12．在中，角、、所对的边分别为、、，若，则（ ）A．B．C．D．3．一个几何体的三视图及尺寸如下图所示，其中正视图是直角三角形，侧视图是半圆，俯视图是等腰三角形，该几何体的表面积是 （ ） A．B．C．D．4．已知为定义在上的奇函数，若当时，（为实数），则关于的不等式的解集是（ ）A．B．C．D．5．执行如图所示的程序框图，若输出的，则输入的整数的最大值为( )A．7B．15C．31D．636．已知二次函数的部分图象如图所示，则函数的零点所在区间为（ ）A．B．C．D．7．已知等差数列的前 n 项和为，且，，若（，且），则 i 的取值集合是（ ）A．B．C．D．8．下图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形的斜边、直角边，已知以直角边为直径的半圆的面积之比为，记，则（ ）A．B．C．1D．9．若函数的定义域为 M＝{x|－2≤x≤2}，值域为 N＝{y|0≤y≤2},则函数的图像可能是（ ）A．B．C．D．10．在中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，D 是 AB 的中点，若，且，则面积的最大值是( )A．B．C．D．11．设，，是非零向量.若，则（ ）A．B．C．D．12．执行下面的程序框图，若输出的的值为 63，则判断框中可以填入的关于 的判断条件是（ ）A．B．C．D．二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13．如图，在正四棱柱中，P 是侧棱上一点，且.设三棱锥的体积为，正四棱柱的体积为 V，则的值为________.14．若方程有两个不等实根，则实数的取值范围是_____________.15．在边长为的菱形中，点在菱形所在的平面内．若，则_____．16．设是等比数列的前项的和，成等差数列，则的值为_____．三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12 分）已知各项均为正数的数列的前项和为，且，（，且）（1）求数列的通项公式；（2）证明：当时，18．（12 分）某调查机构对某校学生做了一个是否同意生“二孩”抽样调查，该调查机构从该校随机抽查了 100 名不同性别的学生，调查统计他们是同意父母生“二孩”还是反对父母生“二孩”，现已得知 100 人中同意父母生“二孩”占 60%，统计情况如下表：同意不同意合计男生a5女生40d合计100（1）求 a，d 的值，根据以上数据，能否有 97.5%的把握认为是否同意父母生“二孩”与性别有关?请说明理由；（2）将上述调查所得的频率视为概率，现在从所有学生中，采用随机抽样的方法抽取 4 位学生进行长期跟踪调查，记被抽取的 4 位学生中持“同意”态度的人数为 X，求 X 的分布列及数学期望.附：0.150.1000.0500.0250.0102.0722.7063.8415.0246.63519．（12 分）如图，四边形是边长为 3 的菱形，平面.（1）求证：平面；（2）若与平面所成角为，求二面角的正弦值.20．（12 分）已知函数.（1）当时，求函数在处的切线方程；（2）若函数没有零点，求实数的取值范围.21．（12 分）为了解本学期学生参加公益劳动的情况，某校从初高中学生中抽取 100 名学生，收集了他们参加公益劳动时间（单位：小时）的数据，绘制图表的一部分如表.（1）从男生中随机抽取一人，抽到的男生参加公益劳动时间在的概率：（2）从参加公益劳动时间的学生中抽取 3 人进行面谈，记为抽到高中的人数，求的分布列；（3）当时，高中生和初中生相比，那学段学生平均参加公益劳动时间较长.（直接写出结果）22．（10 分）已知，，分别为内角，，的对边，且.（1）证明：；（2）若的面积，，求角...
