2024 届福建省莆田市莆田第八中学高考数学二模试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知函数，若，使得，则实数的取值范围是（ ）A．B．C．D．2．设一个正三棱柱，每条棱长都相等，一只蚂蚁从上底面的某顶点出发，每次只沿着棱爬行并爬到另一个顶点，算一次爬行，若它选择三个方向爬行的概率相等，若蚂蚁爬行 10 次，仍然在上底面的概率为，则为（ ）A．B．C．D．3．若将函数的图象上各点横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ）A．函数在上单调递增B．函数的周期是C．函数的图象关于点对称D．函数在上最大值是 14．已知函数，满足对任意的实数，都有成立，则实数的取值范围为（ ）A．B．C．D．5．已知，，分别是三个内角，，的对边，，则（ ）A．B．C．D．6．已知为圆：上任意一点，，若线段的垂直平分线交直线于点，则点的轨迹方程为( )A．B．C．（）D．（）7．若函数在处取得极值 2，则（ ）A．-3B．3C．-2D．28．设不等式组，表示的平面区域为，在区域内任取一点，则点的坐标满足不等式的概率为A．B．C．D．9．为了贯彻落实党中央精准扶贫决策，某市将其低收入家庭的基本情况经过统计绘制如图，其中各项统计不重复．若该市老年低收入家庭共有 900 户，则下列说法错误的是（ ）A．该市总有 15000 户低收入家庭B．在该市从业人员中，低收入家庭共有 1800 户C．在该市无业人员中，低收入家庭有 4350 户D．在该市大于 18 岁在读学生中，低收入家庭有 800 户10．等比数列中，，则与的等比中项是（ ）A．±4B．4C．D．11．已知正三棱锥的所有顶点都在球的球面上，其底面边长为 4，、、分别为侧棱，，的中点.若在三棱锥内，且三棱锥的体积是三棱锥体积的 4 倍，则此外接球的体积与三棱锥体积的比值为（ ）A．B．C．D．12．刘徽是我国魏晋时期伟大的数学家，他在《九章算术》中对勾股定理的证明如图所示.“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不移动也.合成弦方之幂，开方除之，即弦也”.已知图中网格纸上小正方形的边长为 1，其中“正方形为朱方，正方形为青方”，则在五边形内随机取一个点，此点取自朱方的概率为（ ）A．B．C．D．二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13．设为定义在上的偶函数，当时，（为常数），若，则实数的值为______.14．二项式的展开式中项的系数为_____．15．已知实数，对任意，有，且，则______.16．若函数 (R，)满足，且的最小值等于，则 ω 的值为___________.三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12 分）已知椭圆，上顶点为，离心率为，直线交轴于点，交椭圆于，两点，直线，分别交轴于点，．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求证：为定值．18．（12 分）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中.若问题中的正整数存在，求的值；若不存在，说明理由.设正数等比数列的前项和为，是等差数列，__________，，，，是否存在正整数，使得成立？19．（12 分）某超市在节日期间进行有奖促销，规定凡在该超市购物满 400 元的顾客，均可获得一次摸奖机会.摸奖规则如下：奖盒中放有除颜色不同外其余完全相同的 4 个球（红、黄、黑、白）.顾客不放回的每次摸出 1 个球，若摸到黑球则摸奖停止，否则就继续摸球.按规定摸到红球奖励 20 元，摸到白球或黄球奖励 10 元，摸到黑球不奖励.（1）求 1 名顾客摸球 2 次摸奖停止的概率；（2）记 X 为 1 名顾客摸奖获得的奖金数额，求随机变量 X 的分布列和数学期望.20．（12 分）已知数列的前项和和通项满足.（1）求数列的通项公式；（2）已知数...
