2024 届试题山西省怀仁市重点中学高三第一次模拟考试数学试卷请考生注意：1．请用 2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用 0．5 毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设集合，，若，则的取值范围是（ ）A．B．C．D．2．已知若（1-ai ）( 3+2i )为纯虚数，则 a 的值为 （ ）A．B．C．D．3．已知等比数列满足，，等差数列中，为数列的前项和，则（ ）A．36B．72C．D．4．已知函数是上的偶函数，且当时，函数是单调递减函数，则，，的大小关系是（ ）A．B．C．D．5．已知等比数列的前项和为，若，且公比为 2，则与的关系正确的是（ ）A．B．C．D．6．已知点(m,8)在幂函数的图象上，设，则（ ）A．b＜a＜cB．a＜b＜cC．b＜c＜aD．a＜c＜b7．在复平面内，复数 z=i 对应的点为 Z，将向量绕原点 O 按逆时针方向旋转，所得向量对应的复数是（ ）A．B．C．D．8．设，分别为双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点作圆 的切线与双曲线的左支交于点 P，若，则双曲线的离心率为（ ）A．B．C．D．9．若关于的不等式有正整数解，则实数的最小值为（ ）A．B．C．D．10．将函数的图象先向右平移个单位长度，在把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上没有零点，则的取值范围是（ ）A．B．C．D．11．点为棱长是 2 的正方体的内切球球面上的动点，点为的中点，若满足，则动点的轨迹的长度为（ ）A．B．C．D．12．的展开式中的一次项系数为（ ）A．B．C．D．二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说“是乙或丙获奖.”乙说：“甲、丙都未获奖.”丙说：“我获奖了”.丁说：“是乙获奖.”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是__________．14．已知，则展开式中的系数为__15．函数在区间上的值域为______.16．在回归分析的问题中，我们可以通过对数变换把非线性回归方程，（）转化为线性回归方程，即两边取对数，令，得到.受其启发，可求得函数（）的值域是_________.三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12 分）如图，在矩形中，，，点分别是线段的中点，分别将沿折起，沿折起，使得重合于点，连结.（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.18．（12 分）如图 1，四边形为直角梯形，，，，，，为线段上一点，满足，为的中点，现将梯形沿折叠（如图 2），使平面平面.（1）求证：平面平面；（2）能否在线段上找到一点（端点除外）使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由.19．（12 分）在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右顶点分别为、，焦距为 2，直线 与椭圆交于两点（均异于椭圆的左、右顶点）.当直线 过椭圆的右焦点且垂直于轴时，四边形的面积为 6.（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线的斜率分别为.① 若，求证：直线 过定点；② 若直线 过椭圆的右焦点，试判断是否为定值，并说明理由.20．（12 分）已知函数.（1）讨论的零点个数；（2）证明：当时，.21．（12 分）在直角坐标系中，直线 的参数方程是为参数），曲线的参数方程是为参数），以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线 和曲线的极坐标方程；（2）已知射线与曲线交于两点，射线与直线 交于点，若的面积为 1，求的值和弦长．22．（10 分）追求人类与生存环境的和谐发展是中国特色社会主义生态文明的价值取向.为了改善空气质量，某城市环保局随机抽取了一年内 100 天的空气质量指数（AQI）的检测数据，结果统计如表：AQI空气质量优良轻度污染中度污染重度污染重度污染天数61418272510（1）从空气质量指数属于[0，50]，（50，100]的天数中任取 3 天，求这...
