2024 届辽宁省凌源市联合校高三第五次模拟考试数学试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．下图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形的斜边、直角边，已知以直角边为直径的半圆的面积之比为，记，则（ ）A．B．C．1D．2．已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，且，则该双曲线的离心率为（ ）A．B．C．2D．43．已知函数.设，若对任意不相等的正数，，恒有，则实数 a 的取值范围是（ ）A．B．C．D．4．木匠师傅对一个圆锥形木件进行加工后得到一个三视图如图所示的新木件，则该木件的体积（ ） A．B．C．D．5．设为等差数列的前项和，若，，则的最小值为（ ）A．B．C．D．6．集合的真子集的个数为( )A．7B．8C．31D．327．要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有点的（ ）A．横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位长度B．横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向右平移个单位长度C．横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度D．横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度8．已知的内角的对边分别是且，若为最大边，则的取值范围是（ ）A．B．C．D．9．函数的部分图象如图中实线所示，图中圆与的图象交于两点，且在轴上，则下列说法中正确的是A．函数的最小正周期是B．函数的图象关于点成中心对称C．函数在单调递增D．函数的图象向右平移后关于原点成中心对称10．在中，“”是“”的（ ）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件11．已知非零向量，满足，，则与的夹角为（ ）A．B．C．D．12．已知双曲线的焦距是虚轴长的 2 倍，则双曲线的渐近线方程为（ ）A．B．C．D．二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13．（5 分）已知函数，则不等式的解集为____________．14．根据如图的算法，输出的结果是_________.15．在△ABC 中，∠BAC＝，AD 为∠BAC 的角平分线，且，若 AB＝2，则 BC＝_______.16．设集合，（其中 e 是自然对数的底数），且，则满足条件的实数 a 的个数为______．三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12 分）在等比数列中，已知，.设数列的前 n 项和为，且，（，）.（1）求数列的通项公式；（2）证明：数列是等差数列；（3）是否存在等差数列，使得对任意，都有？若存在，求出所有符合题意的等差数列；若不存在，请说明理由.18．（12 分）如图所示，三棱柱中，平面，点，分别在线段，上，且，，是线段的中点.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）若，，，求直线与平面所成角的正弦值.19．（12 分）在平面直角坐标系中，椭圆：的右焦点为（，为常数），离心率等于 0.8，过焦点、倾斜角为的直线 交椭圆于、两点．⑴ 求椭圆的标准方程；⑵ 若时，，求实数；⑶ 试问的值是否与的大小无关，并证明你的结论．20．（12 分）已知椭圆：（）的左、右顶点分别为、 ，焦距为 2，点为椭圆上异于、的点，且直线和的斜率之积为.（1）求的方程；（2）设直线与轴的交点为，过坐标原点作交椭圆于点，试探究是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由.21．（12 分）已知椭圆的短轴长为，离心率，其右焦点为.（1）求椭圆的方程；（2）过作夹角为的两条直线分别交椭圆于和，求的取值范围.22．（10 分）已知函数.（Ⅰ）解不等式；（Ⅱ）设其中为常数.若方程在上恰有两个不相等的实数根，求实数的取值范围.参考答案一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题...
