2024 届重庆市合川大石中学高三最后一卷数学试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．一个陶瓷圆盘的半径为，中间有一个边长为的正方形花纹，向盘中投入 1000 粒米后，发现落在正方形花纹上的米共有 51 粒，据此估计圆周率的值为（精确到 0.001）（ ）A．3.132B．3.137C．3.142D．3.1472．已知数列满足，则（ ）A．B．C．D．3．的展开式中含的项的系数为（ ）A．B．60C．70D．804．已知数列对任意的有成立，若，则等于（ ）A．B．C．D．5．已知，，，则( )A．B．C．D．6．若，，，点 C 在 AB 上，且，设，则的值为（ ）A．B．C．D．7．双曲线的渐近线方程是（ ）A．B．C．D．8．设，为非零向量，则“存在正数，使得”是“”的（ ）A．既不充分也不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．充分不必要条件9．若 θ 是第二象限角且 sinθ =，则=A．B．C．D．10．已知向量，是单位向量，若，则（ ）A．B．C．D．11．已知，函数在区间上恰有个极值点，则正实数的取值范围为（ ）A．B．C．D．12．某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为 1 的等腰直角三角形和边长为 1 的正方形，则该几何体中最长的棱长为（ ）．A．B．C．1D．二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13．如图所示梯子结构的点数依次构成数列，则________.14．如图，在正四棱柱中，P 是侧棱上一点，且.设三棱锥的体积为，正四棱柱的体积为 V，则的值为________.15．五声音阶是中国古乐基本音阶，故有成语“五音不全”.中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、徵、羽，如果把这五个音阶全用上，排成一个五个音阶的音序，且要求宫、羽两音阶不相邻且在角音阶的同侧，可排成______种不同的音序.16．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积是______.三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12 分）已知函数.（1）证明：当时，；（2）若函数有三个零点，求实数的取值范围.18．（12 分）已知矩阵，，若矩阵，求矩阵的逆矩阵．19．（12 分）如图，在直三棱柱中，，点 P，Q 分别为，的中点.求证：（1）PQ平面；（2）平面.20．（12 分）在全面抗击新冠肺炎疫情这一特殊时期，我市教育局提出“停课不停学”的口号，鼓励学生线上学习.某校数学教师为了调查高三学生数学成绩与线上学习时间之间的相关关系，对高三年级随机选取 45 名学生进行跟踪问卷，其中每周线上学习数学时间不少于 5 小时的有 19 人，余下的人中，在检测考试中数学平均成绩不足 120 分的占，统计成绩后得到如下列联表：分数不少于 120 分分数不足 120 分合计线上学习时间不少于 5 小时419线上学习时间不足 5 小时合计45（1）请完成上面列联表；并判断是否有 99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”；（2）①按照分层抽样的方法，在上述样本中从分数不少于 120 分和分数不足 120 分的两组学生中抽取 9 名学生，设抽到不足 120 分且每周线上学习时间不足 5 小时的人数是，求的分布列（概率用组合数算式表示）；② 若将频率视为概率，从全校高三该次检测数学成绩不少于 120 分的学生中随机抽取 20 人，求这些人中每周线上学习时间不少于 5 小时的人数的期望和方差.（下面的临界值表供参考）0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828（参考公式其中）21．（12 分）已知分别是椭圆的左焦点和右焦点，椭圆的离心率为是椭圆上两点，点满足.(1)求的方程；(2)若点在圆上，点为坐标原点，求的取值范围.22．（10 分）如图，在四棱锥中，平面平面，.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）若锐二面角的...
