2024 届黑龙江省牡丹江市一中高三第四次模拟考试数学试卷请考生注意：1．请用 2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用 0．5 毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知函数满足=1，则等于（ ）A．-B．C．-D．2．已知 为虚数单位，若复数满足，则（ ）A．B．C．D．3．若双曲线的离心率，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离为（ ）A．B．2C．D．14．a 为正实数，i 为虚数单位，，则 a=（ ）A．2B．C．D．15．设且，则下列不等式成立的是（ ）A．B．C．D．6．在区间上随机取一个数，使得成立的概率为等差数列的公差，且，若，则的最小值为（ ）A．8B．9C．10D．117．棱长为 2 的正方体内有一个内切球，过正方体中两条异面直线，的中点作直线，则该直线被球面截在球内的线段的长为（ ）A．B．C．D．18．中，如果，则的形状是（ ）A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形9．若为过椭圆中心的弦，为椭圆的焦点，则△面积的最大值为（ ）A．20B．30C．50D．6010．已知三棱锥 P﹣ABC 的顶点都在球 O 的球面上，PA，PB，AB＝4，CA＝CB，面 PAB⊥面ABC，则球 O 的表面积为（ ）A．B．C．D．11．一个正三棱柱的正（主）视图如图，则该正三棱柱的侧面积是（ ）A．16B．12C．8D．612．已知分别为双曲线的左、右焦点，过的直线 与双曲线的左、右两支分别交于两点，若，则双曲线的离心率为（ ）A．B．4C．2D．二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13．点在双曲线的右支上，其左、右焦点分别为、，直线与以坐标原点为圆心、为半径的圆相切于点，线段的垂直平分线恰好过点，则该双曲线的渐近线的斜率为__________．14．直线与抛物线交于两点，若，则弦的中点到直线的距离等于________.15．已知抛物线的焦点为，其准线与坐标轴交于点，过的直线 与抛物线交于两点，若，则直线 的斜率________.16．已知函数函数，则不等式的解集为____．三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12 分）在中国，不仅是购物，而且从共享单车到医院挂号再到公共缴费，日常生活中几乎全部领域都支持手机支付.出门不带现金的人数正在迅速增加。中国人民大学和法国调查公司益普索合作，调查了腾讯服务的 6000 名用户，从中随机抽取了 60 名，统计他们出门随身携带现金（单位：元）如茎叶图如示，规定：随身携带的现金在 100 元以下（不含 100 元）的为“手机支付族”，其他为“非手机支付族”. （1）根据上述样本数据，将列联表补充完整，并判断有多大的把握认为“手机支付族”与“性别”有关？（2）用样本估计总体，若从腾讯服务的用户中随机抽取 3 位女性用户，这 3 位用户中“手机支付族”的人数为，求随机变量的期望和方差；（3）某商场为了推广手机支付，特推出两种优惠方案，方案一：手机支付消费每满 1000 元可直减 100 元；方案二：手机支付消费每满 1000 元可抽奖 2 次，每次中奖的概率同为，且每次抽奖互不影响，中奖一次打 9 折，中奖两次打 8.5 折.如果你打算用手机支付购买某样价值 1200 元的商品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析，选择哪种优惠方案更划算？附：0.0500.0100.001 3.8416.63510.82818．（12 分）已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若对任意成立，求实数的取值范围.19．（12 分）已知函数存在一个极大值点和一个极小值点.（1）求实数 a 的取值范围；（2）若函数的极大值点和极小值点分别为和，且，求实数 a 的取值范围.（e 是自然对数的底数）20．（12 分）在平面直角坐标系中，将曲线（为参数）通过伸缩变换，得到曲线，设直线（ 为参数)与曲线相交于不同两点，.（1）若，求线段的中点的坐标；（2）设点，若，求直线 的斜率.21．（12 分）已知抛物线的焦点为，点在抛...
