上海交大附中 2023-2024 学年高三 3 月份第一次模拟考试数学试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用 0．5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用 2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用 05 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用 2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知函数满足：当时，，且对任意，都有，则（ ）A．0B．1C．-1D．2．已知向量，，则与的夹角为（ ）A．B．C．D．3．已知函数，不等式对恒成立，则的取值范围为（ ）A．B．C．D．4．（ ）A．B．C．D．5．设 i 为数单位，为 z 的共轭复数，若，则（ ）A．B．C．D．6．设复数 z＝，则|z|＝（ ）A．B． C．D．7．下列函数中，图象关于轴对称的为（ ）A．B．，C．D．8．已知集合，则集合（ ）A．B．C．D．9．的展开式中，项的系数为（ ）A．－23B．17C．20D．6310．已知数列为等比数列，若，且，则（ ）A．B．或C．D．11．设等差数列的前 n 项和为，且，，则( )A．9B．12C．D．12．设函数，则，的大致图象大致是的( )A．B．C．D．二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13．已知中，点是边的中点，的面积为，则线段的取值范围是__________.14．如图，半圆的直径 AB＝6，O 为圆心，C 为半圆上不同于 A、B 的任意一点，若 P 为半径 OC 上的动点，则的最小值为 .15．已知抛物线的焦点为，斜率为的直线过且与抛物线交于两点，为坐标原点，若在第一象限，那么_______________．16．某校初三年级共有名女生，为了了解初三女生 分钟“仰卧起坐”项目训练情况，统计了所有女生 分钟“仰卧起坐”测试数据（单位：个），并绘制了如下频率分布直方图，则 分钟至少能做到个仰卧起坐的初三女生有_____________个．三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12 分）已知函数.（Ⅰ）求在点处的切线方程；（Ⅱ）已知在上恒成立，求的值.（Ⅲ）若方程有两个实数根，且，证明：.18．（12 分）如图，四棱锥中，底面是矩形，面底面，且是边长为的等边三角形，在上，且面. （1）求证: 是的中点；（2）在上是否存在点，使二面角为直角？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.19．（12 分）已知椭圆的左右焦点分别是，点在椭圆上，满足（1）求椭圆的标准方程；（2）直线过点，且与椭圆只有一个公共点，直线与的倾斜角互补，且与椭圆交于异于点的两点，与直线交于点（介于两点之间），是否存在直线，使得直线，，的斜率按某种排序能构成等比数列？若能，求出的方程，若不能，请说理由.20．（12 分）已知函数的定义域为，且满足，当时，有，且.（1）求不等式的解集；（2）对任意，恒成立，求实数的取值范围.21．（12 分）设函数，是函数的导数.（1）若，证明在区间上没有零点；（2）在上恒成立，求的取值范围.22．（10 分）如图 1，在等腰中，，，分别为，的中点，为的中点，在线段上，且。将沿折起，使点到的位置（如图 2 所示），且。（1）证明：平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值参考答案一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】由题意可知，代入函数表达式即可得解.【详解】由可知函数是周期为 4 的函数，.故选：C.【点睛】本题考查了分段函数和函数周期的应用，属于基础题.2、B【解析】由已知向量的坐标，利用平面向量的夹角公式，直接可求出结果.【详解】解：由题意得，设与的夹角为，，由于向量夹角范围为：，∴.故选：B.【点睛】本题考查利用平面向量的数量积求两向量的夹角...
