上海市华实高中 2024 年高三第四次模拟考试数学试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用 0．5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用 2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用 05 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用 2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知 a>0，b>0，a+b =1，若 α=，则的最小值是（ ）A．3B．4C．5D．62．已知函数（其中 为自然对数的底数）有两个零点，则实数的取值范围是（ ）A．B．C．D．3．正三棱柱中，，是的中点，则异面直线与所成的角为（ ）A．B．C．D．4．已知是边长为 1 的等边三角形，点，分别是边，的中点，连接并延长到点，使得，则的值为（ ）A．B．C．D．5．函数的图象可能是下列哪一个？（ ）A．B．C．D．6．若向量，则（ ）A．30B．31C．32D．337．已知复数满足，则的值为（ ）A．B．C．D．28．集合的真子集的个数为( )A．7B．8C．31D．329．对于任意，函数满足，且当时，函数.若，则大小关系是（ ）A．B．C．D．10．如图所示，正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为 1，线段 B1D1上有两个动点 E、F 且 EF=，则下列结论中错误的是（ ）A．AC⊥BEB．EF平面 ABCDC．三棱锥 A-BEF 的体积为定值D．异面直线 AE,BF 所成的角为定值11．若直线与圆相交所得弦长为，则（ ）A．1B．2C．D．312．下列几何体的三视图中，恰好有两个视图相同的几何体是（ ）A．正方体B．球体C．圆锥D．长宽高互不相等的长方体二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13．一个四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是，，，，则该四面体的外接球的体积为__________．14．的展开式中，项的系数是__________．15．在中，角，，的对边分别为，，.若；且，则周长的范围为__________.16．已知实数满足，则的最小值是______________.三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12 分）已知函数，（Ⅰ）当时，证明；（Ⅱ）已知点，点，设函数，当时，试判断的零点个数．18．（12 分）设函数，其中是自然对数的底数.（Ⅰ）若在上存在两个极值点，求的取值范围；（Ⅱ）若，函数与函数的图象交于，且线段的中点为，证明：.19．（12 分）某公园有一块边长为 3 百米的正三角形空地，拟将它分割成面积相等的三个区域，用来种植三种花卉.方案是：先建造一条直道将分成面积之比为的两部分（点 D，E 分别在边，上）；再取的中点 M，建造直道（如图）.设，，（单位：百米）.（1）分别求，关于 x 的函数关系式；（2）试确定点 D 的位置，使两条直道的长度之和最小，并求出最小值.20．（12 分）已知函数（1）若对任意恒成立，求实数的取值范围；（2）求证： 21．（12 分） [2018·石家庄一检]已知函数．（1）若，求函数的图像在点处的切线方程；（2）若函数有两个极值点，，且，求证：．22．（10 分）为了实现中华民族伟大复兴之梦，把我国建设成为富强民主文明和谐美丽的社会主义现代化强国，党和国家为劳动者开拓了宽广的创造性劳动的舞台.借此“东风”，某大型现代化农场在种植某种大棚有机无公害的蔬菜时，为创造更大价值，提高亩产量，积极开展技术创新活动.该农场采用了延长光照时间和降低夜间温度两种不同方案.为比较两种方案下产量的区别，该农场选取了 40 间大棚（每间一亩），分成两组，每组 20 间进行试点.第一组采用延长光照时间的方案，第二组采用降低夜间温度的方案.同时种植该蔬菜一季，得到各间大棚产量数据信息如下图：（1）如果你是该农场的负责人，在只考虑亩产量的情况下，请根据图中的数据信息，对于下一季大棚蔬...
