上海市理工大附中 2024 年高三第一次模拟考试数学试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．将函数图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象关于直线对称，则函数在上的值域是（ ）A．B．C．D．2．执行如图所示的程序框图，若输出的，则①处应填写（ ）A．B．C．D．3．已知点 P 不在直线 l、m 上，则“过点 P 可以作无数个平面，使得直线 l、m 都与这些平面平行”是“直线 l、m 互相平行”的（ ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．已知是双曲线的左右焦点，过的直线与双曲线的两支分别交于两点（A 在右支，B 在左支）若为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）A．B．C．D．5．执行如图所示的程序框图，若输出的，则输入的整数的最大值为( )A．7B．15C．31D．636．定义在 R 上的函数满足，为的导函数，已知的图象如图所示，若两个正数满足，的取值范围是（ ）A．B．C．D．7．已知函数（）的部分图象如图所示，且，则的最小值为（ ）A．B．C．D．8．将函数图象上每一点的横坐标变为原来的 2 倍，再将图像向左平移个单位长度，得到函数的图象，则函数图象的一个对称中心为（ ）A．B．C．D．9．已知函数，，若总有恒成立.记的最小值为，则的最大值为（ ）A．1B．C．D．10． “”是“，”的（ ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件11．数列满足：，，，为其前 n 项和，则（ ）A．0B．1C．3D．412．在四边形中，，，，，，点在线段的延长线上，且，点在边所在直线上，则的最大值为（ ）A．B．C．D．二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13．角 α 的顶点在坐标原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边经过点 P（1，2），则 sin（π﹣α）的值是_____．14．若展开式中的常数项为 240，则实数的值为________.15．已知函数，若关于 x 的方程有且只有两个不相等的实数根，则实数 a的取值范围是_______________.16．如图在三棱柱中，，，，点为线段上一动点，则的最小值为________.三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12 分）已知函数，（1）证明：在区间单调递减；（2）证明：对任意的有．18．（12 分）在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知：，：，：.（1）求与的极坐标方程（2）若与交于点 A，与交于点 B，，求的最大值.19．（12 分）某保险公司给年龄在岁的民众提供某种疾病的一年期医疗保险，现从名参保人员中随机抽取名作为样本进行分析，按年龄段分成了五组，其频率分布直方图如下图所示；参保年龄与每人每年应交纳的保费如下表所示. 据统计，该公司每年为这一万名参保人员支出的各种费用为一百万元.年龄（单位：岁）保费（单位：元）（1）用样本的频率分布估计总体分布，为使公司不亏本，求精确到整数时的最小值；（2）经调查，年龄在之间的老人每人中有 人患该项疾病(以此频率作为概率).该病的治疗费为元，如果参保，保险公司补贴治疗费元.某老人年龄岁，若购买该项保险(取中的).针对此疾病所支付的费用为元；若没有购买该项保险，针对此疾病所支付的费用为元.试比较和的期望值大小，并判断该老人购买此项保险是否划算？20．（12 分）已知函数.（1）设，若存在两个极值点，，且，求证：；（2）设，在不单调，且恒成立，求的取值范围.（ 为自然对数的底数）.21．（12 分）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，焦距为 2，且经过点，斜率为的直线经过点，与椭圆交于，两点.（1）求...
