上海市静安区市级名校 2024 年高三下第一次测试数学试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设，，则的值为（ ）A．B．C．D．2．已知集合，，若，则的最小值为（ ）A．1B．2C．3D．43．曲线在点处的切线方程为（ ）A．B．C．D．4．在钝角中，角所对的边分别为，为钝角，若，则的最大值为（ ）A．B．C．1D．5．设全集 U=R，集合，则（ ）A．B．C．D．6．在明代程大位所著的《算法统宗》中有这样一首歌谣，“放牧人粗心大意，三畜偷偷吃苗青，苗主扣住牛马羊，要求赔偿五斗粮，三畜户主愿赔偿，牛马羊吃得异样．马吃了牛的一半，羊吃了马的一半．”请问各畜赔多少？它的大意是放牧人放牧时粗心大意，牛、马、羊偷吃青苗，青苗主人扣住牛、马、羊向其主人要求赔偿五斗粮食（1 斗=10 升），三畜的主人同意赔偿，但牛、马、羊吃的青苗量各不相同．马吃的青苗是牛的一半，羊吃的青苗是马的一半．问羊、马、牛的主人应该分别向青苗主人赔偿多少升粮食？（ ）A．B．C．D．7．我国著名数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界瞩目的成就，哥德巴赫猜想内容是“每个大于的偶数可以表示为两个素数的和”（ 注：如果一个大于 的整数除了 和自身外无其他正因数，则称这个整数为素数），在不超过的素数中，随机选取个不同的素数、，则的概率是（ ）A．B．C．D．8．函数的定义域为，集合，则（ ）A．B．C．D．9．如图所示，正方体的棱，的中点分别为，，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）A．B．C．D．10．如图，棱长为 的正方体中，为线段的中点，分别为线段和 棱 上任意一点，则的最小值为（ ）A．B．C．D．11．已知正方体的棱长为，，，分别是棱，，的中点，给出下列四个命题: ①; ② 直线与直线所成角为;③ 过，，三点的平面截该正方体所得的截面为六边形;④ 三棱锥的体积为.其中，正确命题的个数为（ ）A．B．C．D．12．本次模拟考试结束后，班级要排一张语文、数学、英语、物理、化学、生物六科试卷讲评顺序表，若化学排在生物前面，数学与物理不相邻且都不排在最后，则不同的排表方法共有（ ）A．72 种B．144 种C．288 种D．360 种二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13．给出下列等式：，，，…请从中归纳出第个等式：______.14．已知变量 ， 满足约束条件，则的最小值为__________．15．在中，内角所对的边分别是，若，，则__________.16．如图所示，点，B 均在抛物线上，等腰直角的斜边为 BC，点 C 在 x 轴的正半轴上，则点B 的坐标是________.三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12 分）如图，在斜三棱柱中，平面平面，，，，均为正三角形，E 为 AB 的中点．（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）求斜三棱柱截去三棱锥后剩余部分的体积．18．（12 分）已知抛物线 E：y2＝2px（p＞0），焦点 F 到准线的距离为 3，抛物线 E 上的两个动点 A（x1，y1）和B（x2，y2），其中 x1≠x2且 x1+x2＝1．线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于点 C．（1）求抛物线 E 的方程；（2）求△ABC 面积的最大值．19．（12 分）已知集合，集合.（1）求集合；（2）若，求实数的取值范围.20．（12 分）唐诗是中国文学的瑰宝.为了研究计算机上唐诗分类工作中检索关键字的选取，某研究人员将唐诗分成 7大类别，并从《全唐诗》48900 多篇唐诗中随机抽取了 500 篇，统计了每个类别及各类别包含“花”、“山”、“帘”字的篇数，得到下表：爱情婚姻咏史怀古边塞战争山水田园交游送别羁旅思乡其他总计篇数100645599917318500含“山”字的篇数5148216948304271含“帘”字的篇数2120073538含“花”字的篇数6061...
