东莞市 2024 届高三第四次模拟考试数学试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用 2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知函数，若关于的方程恰好有 3 个不相等的实数根，则实数的取值范围为（ ）A．B．C．D．2．复数的模为（ ）．A．B．1C．2D．3．使得的展开式中含有常数项的最小的 n 为( )A．B．C．D．4．函数在上单调递减的充要条件是（ ）A．B．C．D．5． “”是“函数（为常数）为幂函数”的（ ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件6．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三视图的长、宽、高分别为，，，且，则此三棱锥外接球表面积的最小值为（ ）A．B．C．D．7．一艘海轮从 A 处出发，以每小时 24 海里的速度沿南偏东 40°的方向直线航行，30 分钟后到达 B 处，在 C 处有一座灯塔，海轮在 A 处观察灯塔，其方向是南偏东 70°，在 B 处观察灯塔，其方向是北偏东 65°，那么 B，C 两点间的距离是（ ）A．6 海里B．6海里C．8海里D．8海里8．已知不同直线 、与不同平面、，且，，则下列说法中正确的是（ ）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则9．已知分别为双曲线的左、右焦点，点是其一条渐近线上一点，且以为直径的圆经过点，若的面积为，则双曲线的离心率为（ ）A．B．C．D．10．直线与抛物线 C：交于 A，B 两点，直线，且 l 与 C 相切，切点为 P，记的面积为 S，则的最小值为 A．B．C．D．11．M、N 是曲线 y=πsinx 与曲线 y=πcosx 的两个不同的交点,则|MN|的最小值为( )A．πB．πC．πD．2π12．已知抛物线的焦点为，过焦点的直线与抛物线分别交于、 两点，与轴的正半轴交于点，与准线 交于点，且，则（ ）A．B．2C．D．3二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13．设满足约束条件，则的取值范围为__________.14．已知函数 函数 ，其中，若函数 恰有 4 个零点，则的取值范围是__________．15．已知正方形边长为，空间中的动点满足，，则三棱锥体积的最大值是______.16．已知数列与均为等差数列（），且，则______．三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12 分）高铁和航空的飞速发展不仅方便了人们的出行,更带动了我国经济的巨大发展.据统 计,在 2018 年这一年内从 市到市乘坐高铁或飞机出行的成年人约为万人次.为了 解乘客出行的满意度,现从中随机抽取人次作为样本,得到下表(单位:人次):满意度老年人中年人青年人乘坐高铁乘坐飞机乘坐高铁乘坐飞机乘坐高铁乘坐飞机10 分(满意)1212022015 分(一般)2362490 分(不满意)106344（1）在样本中任取 个,求这个出行人恰好不是青年人的概率;（2）在 2018 年从市到市乘坐高铁的所有成年人中,随机选取人次,记其中老年人出行的人次为.以频率作为概率,求的分布列和数学期望;（3）如果甲将要从市出发到市,那么根据表格中的数据,你建议甲是乘坐高铁还是飞机? 并说明理由.18．（12 分）已知函数．（1）若在处取得极值，求的值；（2）求在区间上的最小值；（3）在（1）的条件下，若，求证：当时，恒有成立．19．（12 分）已知函数的图象向左平移后与函数图象重合.（1）求和的值；（2）若函数，求的单调递增区间及图象的对称轴方程.20．（12 分）在四棱锥中，底面是边长为 2 的菱形，是的中点.（1）证明：平面；（2）设是直线上的动点，当点到平面距离最大时，求面与面所成二面角的正弦值.21．（12 分） [选修 4 5 ：不等式选讲] 已知都是正实数，且，求证: ．22．（10 分）已知函数.（1）若，，求函数的单调区间；（2）时，若对一切恒成立，求 a 的取值范围.参考答案一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个...
