北京市东城区 2023-2024 学年高三 3 月份模拟考试数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．金庸先生的武侠小说《射雕英雄传》第 12 回中有这样一段情节，“……洪七公道：肉只五种，但猪羊混咬是一般滋味，獐牛同嚼又是一般滋味，一共有几般变化，我可算不出了”.现有五种不同的肉，任何两种（含两种）以上的肉混合后的滋味都不一样，则混合后可以组成的所有不同的滋味种数为（ ）A．20B．24C．25D．262．已知函数，若，则的值等于（ ）A．B．C．D．3．已知集合 M＝{x|1﹣ ＜x＜2}，N＝{x|x（x+3）≤0}，则 M∩N＝（ ）A．[3﹣ ，2）B．（﹣3，2）C．（﹣1，0]D．（﹣1，0）4．如图，平面与平面相交于，，，点，点，则下列叙述错误的是（ ）A．直线与异面B．过只有唯一平面与平行C．过点只能作唯一平面与垂直D．过一定能作一平面与垂直5．函数（）的图象的大致形状是（ ）A．B．C．D．6．已知圆：，圆：，点、分别是圆、圆上的动点，为轴上的动点，则的最大值是（ ）A．B．9C．7D．7．已知正项数列满足：，设，当最小时，的值为( )A．B．C．D．8．已知当，，时，，则以下判断正确的是 A．B．C．D．与的大小关系不确定9．抛物线的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形面积为，则 的值为 ( )A．B．C．D．10．已知函数，其中，记函数满足条件：为事件，则事件发生的概率为A．B．C．D．11．设函数恰有两个极值点，则实数 的取值范围是（ ）A．B．C．D．12．已知是过抛物线焦点的弦，是原点，则（ ）A．－2B．－4C．3D．－3二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13．在中，已知，，则 A 的值是______.14．在直角坐标系中，某等腰直角三角形的两个顶点坐标分别为，函数的图象经过该三角形的三个顶点，则的解析式为___________.15．《九章算术》第七章“盈不足”中第一题：“今有共买物，人出八，盈三钱；人出七，不足四，问人数物价各几何？”借用我们现在的说法可以表述为：有几个人合买一件物品，每人出 8 元，则付完钱后还多 3 元；若每人出 7 元，则还差 4 元才够付款.问他们的人数和物品价格？答：一共有_____人；所合买的物品价格为_______元．16．已知数列中，为其前项和，，，则_________，_________.三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12 分）已知函数的定义域为.（1）求实数 的取值范围；（2）设实数为 的最小值，若实数，，满足，求的最小值.18．（12 分）已知函数，它的导函数为．（1）当时，求的零点；（2）当时，证明：．19．（12 分）等差数列的前项和为，已知，.（Ⅰ）求数列的通项公式及前项和为；（Ⅱ）设为数列的前项的和，求证：.20．（12 分）某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的 100 人的成绩进行了统计，绘制了频率分布直方图（如图所示），规定 80 分及以上者晋级成功，否则晋级失败．晋级成功晋级失败合计男16女50合计（1）求图中的值；（2）根据已知条件完成下面列联表，并判断能否有的把握认为“晋级成功”与性别有关？（3）将频率视为概率，从本次考试的所有人员中，随机抽取 4 人进行约谈，记这 4 人中晋级失败的人数为，求的分布列与数学期望．（参考公式：，其中）0.400.250.150.100.050.0250.7801.3232.0722.7063...
