北京市中央美术学院附属实验学校 2023-2024 学年高三考前热身数学试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设，是方程的两个不等实数根，记（）.下列两个命题（ ）① 数列的任意一项都是正整数；② 数列存在某一项是 5 的倍数.A．①正确，②错误B．①错误，②正确C．①②都正确D．①②都错误2．一个几何体的三视图及尺寸如下图所示，其中正视图是直角三角形，侧视图是半圆，俯视图是等腰三角形，该几何体的表面积是 （ ） A．B．C．D．3．已知无穷等比数列的公比为 2，且，则（ ）A．B．C．D．4．已知在中，角的对边分别为，若函数存在极值，则角的取值范围是（ ）A．B．C．D．5．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点，在椭圆上，其中，，若，，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）A．B．C．D．6．（ ）A．B．C．1D．7．某人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，其轨道的离心率为 ，设地球半径为，该卫星近地点离地面的距离为，则该卫星远地点离地面的距离为（ ）A．B．C．D．8．已知函数的部分图象如图所示，则（ ）A．B．C．D．9．已知函数 f（x）＝eb﹣x﹣ex﹣b+c（b，c 均为常数）的图象关于点（2，1）对称，则 f（5）+f（﹣1）＝（ ）A．﹣2B．﹣1C．2D．410．设、分别是定义在上的奇函数和偶函数，且，则（ ）A．B．0C．1D．311．函数的图象大致为（ ）A．B．C．D．12．已知函数的图象与直线的相邻交点间的距离为，若定义，则函数，在区间内的图象是( )A．B．C．D．二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13．如图，机器人亮亮沿着单位网格，从地移动到地，每次只移动一个单位长度，则亮亮从移动到最近的走法共有____种．14．若随机变量的分布列如表所示，则______，______．-10115．在平面直角坐标系 xOy 中，己知直线与函数的图象在 y 轴右侧的公共点从左到右依次为，，…，若点的横坐标为 1，则点的横坐标为________.16．已知数列的前项和为，且满足，则______三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12 分）在平面直角坐标系中，直线 的参数方程为（ 为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求直线 的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）若直线 与曲线交于、两点，求的面积.18．（12 分）设函数.（1）解不等式；（2）记的最大值为，若实数、 、 满足，求证：.19．（12 分）在开展学习强国的活动中，某校高三数学教师成立了党员和非党员两个学习组，其中党员学习组有 4 名男教师、1 名女教师，非党员学习组有 2 名男教师、2 名女教师，高三数学组计划从两个学习组中随机各选 2 名教师参加学校的挑战答题比赛.（1）求选出的 4 名选手中恰好有一名女教师的选派方法数；（2）记 X 为选出的 4 名选手中女教师的人数，求 X 的概率分布和数学期望.20．（12 分）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面，是棱上的一点，满足平面.（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）设，，若为棱上一点，使得直线与平面所成角的大小为 30°，求的值.21．（12 分）在四棱柱中，底面为正方形，，平面．（1）证明：平面；（2）若，求二面角的余弦值．22．（10 分）如图，四棱锥 P﹣ABCD 的底面是梯形．BC∥AD，AB＝BC＝CD＝1，AD＝2，，（Ⅰ）证明；AC⊥BP；（Ⅱ）求直线 AD 与平面 APC 所成角的正弦值．参考答案一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】利用韦达定理可得,,结合可推出,再计算出,,从而推出①正确;再利用递推公式依次计算数列...
