北京市北京四中 2024 年高三第五次模拟考试数学试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设复数满足（ 为虚数单位），则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．某个小区住户共 200 户，为调查小区居民的 7 月份用水量，用分层抽样的方法抽取了 50 户进行调查，得到本月的用水量(单位：m3)的频率分布直方图如图所示，则小区内用水量超过 15 m3的住户的户数为( )A．10B．50C．60D．1403．若复数是纯虚数，则( )A．3B．5C．D．4．过双曲线左焦点的直线 交的左支于两点，直线（是坐标原点）交的右支于点，若，且，则的离心率是（ ）A．B．C．D．5．复数（i 是虚数单位）在复平面内对应的点在（ ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限6．已知集合，，，则集合( )A．B．C．D．7．对于定义在上的函数，若下列说法中有且仅有一个是错误的，则错误的一个是（ ）A．在上是减函数B．在上是增函数C．不是函数的最小值D．对于，都有8．设，是双曲线的左，右焦点，是坐标原点，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为（ ）A．B．C．D．9．已知函数，若恒成立，则满足条件的的个数为（ ）A．0B．1C．2D．310．已知的展开式中的常数项为 8，则实数（ ）A．2B．-2C．-3D．311．函数 y=sin2x 的图象可能是A．B．C．D．12．已知是边长为的正三角形，若，则A．B．C．D．二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13．某同学周末通过抛硬币的方式决定出去看电影还是在家学习，抛一枚硬币两次，若两次都是正面朝上，就在家学习，否则出去看电影，则该同学在家学习的概率为____________.14．已知过点的直线与函数的图象交于、 两点，点在线段上，过作轴的平行线交函数的图象于点，当∥轴，点的横坐标是 15．设，则_____，（的值为______．16．已知数列的前项和且，设，则的值等于_______________ .三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12 分）如图所示，在三棱柱中，为等边三角形，，，平面，是线段上靠近的三等分点.（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的正弦值.18．（12 分）已知函数.（1）设，若存在两个极值点，，且，求证：；（2）设，在不单调，且恒成立，求的取值范围.（ 为自然对数的底数）.19．（12 分）交通部门调查在高速公路上的平均车速情况，随机抽查了 60 名家庭轿车驾驶员，统计其中有 40 名男性驾驶员，其中平均车速超过的有 30 人，不超过的有 10 人；在其余 20 名女性驾驶员中，平均车速超过的有 5 人，不超过的有 15 人.（1）完成下面的列联表，并据此判断是否有的把握认为，家庭轿车平均车速超过与驾驶员的性别有关；平均车速超过的人数平均车速不超过的人数合计男性驾驶员女性驾驶员合计（2）根据这些样本数据来估计总体，随机调查 3 辆家庭轿车，记这 3 辆车中，驾驶员为女性且平均车速不超过的人数为，假定抽取的结果相互独立，求的分布列和数学期望.参考公式：其中临界值表：0.0500.0250.0100.0050.0013.8415.0246.6357.87910.82820．（12 分）在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，角为锐角，的面积为.（1）求角的大小；（2）求的值.21．（12 分）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，，点、分别为，的中点，且平面平面.（1）求证：平面.（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.22．（10 分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），为上的动点，点满足，点的轨迹为曲线.（Ⅰ）求的方程；（Ⅱ）在以为极点...
