北京市海淀区首都师范大学附属中学 2024 届高三下第一次测试数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知，函数在区间内没有最值，给出下列四个结论：①在上单调递增；②③在上没有零点；④在上只有一个零点.其中所有正确结论的编号是（ ）A．②④B．①③C．②③D．①②④2．在的展开式中，的系数为( )A．-120B．120C．-15D．153．函数的大致图象是A．B．C．D．4．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为mk的星的亮度为 Ek（k=1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( )A．1010.1B．10.1C．lg10.1D．10–10.15．已知 x,y 满足不等式组,则点所在区域的面积是( )A．1B．2C．D．6．某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（ ）A．B．1C．D．7．在平行六面体中，M 为与的交点，若,，则与相等的向量是（ ）A．B．C．D．8．已知正方体的棱长为 2，点在线段上，且，平面经过点，则正方体被平面截得的截面面积为（ ）A．B．C．D．9．已知正项数列满足：，设，当最小时，的值为( )A．B．C．D．10．已知集合，集合，若，则（ ）A．B．C．D．11．函数的部分图像如图所示，若，点的坐标为，若将函数向右平移个单位后函数图像关于轴对称，则的最小值为（ ）A．B．C．D．12．已知为两条不重合直线，为两个不重合平面，下列条件中，的充分条件是（ ）A．∥B．∥C．∥∥D．二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13．已知盒中有 2 个红球，2 个黄球，且每种颜色的两个球均按，编号，现从中摸出 2 个球（除颜色与编号外球没有区别），则恰好同时包含字母，的概率为________.14．已知函数则______.15．已知集合，，则________.16．3 张奖券分别标有特等奖、一等奖和二等奖．甲、乙两人同时各抽取 1 张奖券,两人都未抽得特等奖的概率是__________．三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12 分）设椭圆：的右焦点为，右顶点为，已知椭圆离心率为，过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为 3.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设过点的直线 与椭圆交于点（不在轴上），垂直于 的直线与 交于点，与轴交于点，若，且，求直线 斜率的取值范围.18．（12 分）已知函数，其中， 为自然对数的底数．（1）当时，求函数的极值；（2）设函数的导函数为，求证：函数有且仅有一个零点．19．（12 分）已知函数（1）已知直线 ：，：.若直线与关于 对称，又函数在处的切线与垂直，求实数的值；（2）若函数，则当，时，求证：①；②.20．（12 分）已知抛物线:，点为抛物线的焦点，焦点到直线的距离为，焦点到抛物线的准线的距离为，且.（1）求抛物线的标准方程；（2）若轴上存在点，过点的直线 与抛物线相交于、两点，且为定值，求点的坐标.21．（12 分）在中，．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，，求的值．22．（10 分）已知集合，，，将的所有子集任意排列，得到一个有序集合组，其中.记集合中元素的个数为，，，规定空集中元素的个数为.当时，求的值；利用数学归纳法证明：不论为何值，总存在有序集合组，满足任意，，都有.参考答案一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给...
