北京市海淀清华附中 2023-2024 学年高考数学四模试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设是虚数单位，则“复数为纯虚数”是“”的（ ）A．充要条件B．必要不充分条件C．既不充分也不必要条件D．充分不必要条件2．记单调递增的等比数列的前项和为，若，，则（ ）A．B．C．D．3．已知命题：是“直线和直线互相垂直”的充要条件；命题：对任意都有零点；则下列命题为真命题的是（ ）A．B．C．D．4．双曲线：（，）的一个焦点为（），且双曲线的两条渐近线与圆：均相切，则双曲线的渐近线方程为（ ）A．B．C．D．5．集合中含有的元素个数为（ ）A．4B．6C．8D．126．复数为纯虚数，则( )A．iB．﹣2iC．2iD．﹣i7．已知函数的图像与一条平行于轴的直线有两个交点，其横坐标分别为，则（ ）A．B．C．D．8．下列与函数定义域和单调性都相同的函数是（ ）A．B．C．D．9．在中，为边上的中线，为的中点，且，，则（ ）A．B．C．D．10．已知是等差数列的前项和，若，设，则数列的前项和取最大值时的值为( )A．2020B．20l9C．2018D．201711．正项等差数列的前和为，已知，则=（ ）A．35B．36C．45D．5412．已知正三棱锥的所有顶点都在球的球面上，其底面边长为 4，、、分别为侧棱，，的中点.若在三棱锥内，且三棱锥的体积是三棱锥体积的 4 倍，则此外接球的体积与三棱锥体积的比值为（ ）A．B．C．D．二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13．已知点是双曲线渐近线上的一点，则双曲线的离心率为_______14．已知函数在上仅有 2 个零点，设，则在区间上的取值范围为_______．15．在四面体中，与都是边长为 2 的等边三角形，且平面平面，则该四面体外接球的体积为_______．16．设为数列的前项和，若，，且，，则________．三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12 分）设函数，是函数的导数.（1）若，证明在区间上没有零点；（2）在上恒成立，求的取值范围.18．（12 分）在平面直角坐标系中，曲线 C 的参数方程为（为参数）.以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系.（1）求曲线 C 的极坐标方程；（2）直线（t 为参数）与曲线 C 交于 A，B 两点，求最大时，直线 l 的直角坐标方程.19．（12 分）2019 年底，北京 2022 年冬奥组委会启动志愿者全球招募，仅一个月内报名人数便突破 60 万，其中青年学生约有 50 万人.现从这 50 万青年学生志愿者中，按男女分层抽样随机选取 20 人进行英语水平测试，所得成绩(单位:分)统计结果用茎叶图记录如下:( )Ⅰ 试估计在这 50 万青年学生志愿者中，英语测试成绩在 80 分以上的女生人数;()Ⅱ 从选出的 8 名男生中随机抽取 2 人，记其中测试成绩在 70 分以上的人数为 X，求的分布列和数学期望;()Ⅲ 为便于联络，现将所有的青年学生志愿者随机分成若干组(每组人数不少于 5000)，并在每组中随机选取个人作为联络员，要求每组的联络员中至少有 1 人的英语测试成绩在 70 分以上的概率大于 90%.根据图表中数据，以频率作为概率，给出的最小值.(结论不要求证明)20．（12 分）已知等比数列是递增数列，且．（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和．21．（12 分）已知直线 的参数方程为（， 为参数），曲线的极坐标方程为.(1)将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明曲线的形状；(2)若直线 经过点，求直线 被曲线截得的线段的长.22．（10 分）如图，直线与抛物线交于两点，直线与 轴交于点 ，且直线恰好平分.（1）求 的值；（2）设 是直线上一点，直线交抛物线于另一点，直线交直线于点 ，求的值.参...
