北京市清华大学附中 2024 年高三下学期联考数学试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．元代数学家朱世杰的数学名著《算术启蒙》是中国古代代数学的通论，其中关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.下图是源于其思想的一个程序图，若，，则输出的（ ）A．3B．4C．5D．62．已知，则“直线与直线垂直”是“”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．已知集合，，则A．B．C．D．4．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为A．B．C．2D．5．设集合，则 ( )A．B．C．D．6．设 i 为虚数单位，若复数，则复数 z 等于( )A．B．C．D．07．函数在区间上的大致图象如图所示，则可能是（ ）A．B．C．D．8．设为定义在上的奇函数，当时，(为常数)，则不等式的解集为（ ）A．B．C．D．9．设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则的一个充分条件是（ ）A．且B．且C．且D．且10．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）A．B．C．D．11．数列的通项公式为．则“”是“为递增数列”的（ ）条件．A．必要而不充分B．充要C．充分而不必要D．即不充分也不必要12．已知集合，，若，则实数的值可以为（ ）A．B．C．D．二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13．设命题：，，则：__________．14．已知向量，，则______.15．某部门全部员工参加一项社会公益活动，按年龄分为三组，其人数之比为，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为 20 的样本，若组中甲、乙二人均被抽到的概率是，则该部门员工总人数为__________.16．函数的定义域为______.三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12 分）已知等差数列中，，数列的前项和.（1）求；（2）若，求的前项和.18．（12 分）唐诗是中国文学的瑰宝.为了研究计算机上唐诗分类工作中检索关键字的选取，某研究人员将唐诗分成 7大类别，并从《全唐诗》48900 多篇唐诗中随机抽取了 500 篇，统计了每个类别及各类别包含“花”、“山”、“帘”字的篇数，得到下表：爱情婚姻咏史怀古边塞战争山水田园交游送别羁旅思乡其他总计篇数100645599917318500含“山”字的篇数5148216948304271含“帘”字的篇数2120073538含“花”字的篇数606141732283160（1）根据上表判断，若从《全唐诗》含“山”字的唐诗中随机抽取一篇，则它属于哪个类别的可能性最大，属于哪个类别的可能性最小，并分别估计该唐诗属于这两个类别的概率；（2）已知检索关键字的选取规则为：① 若有超过 95%的把握判断“某字”与“某类别”有关系，则“某字”为“某类别”的关键字；② 若“某字”被选为“某类别”关键字，则由其对应列联表得到的的观测值越大，排名就越靠前；设“山”“帘”“花”和“爱情婚姻”对应的观测值分别为，，.已知，，请完成下面列联表，并从上述三个字中选出“爱情婚姻”类别的关键字并排名.属于“爱情婚姻”类不属于“爱情婚姻”类总计含“花”字的篇数不含“花”的篇数总计附：，其中.0.050.0250.0103.8415.0246.63519．（12 分）已知函数.（1）若函数，试讨论的单调性；（2）若，，求的取值范围.20．（12 分）的内角的对边分别为，已知.（1）求的大小；（2）若，求面积的最大值.21．（12 分）如图，在四棱锥中，底面，，，，为的中点，是上的点.（1）若平面，证明：平面.（2）求二面角的余弦值.22．（10 分）已知函数.（Ⅰ）若，求曲线在处的切线方程；（Ⅱ）当时，要使恒成立，求实数的取值范围.参考答案一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题...
