北京市西城 66 中 2024 年高三第二次诊断性检测数学试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．函数（）的图像可以是（ ）A．B．C．D．2．已知抛物线和点，直线与抛物线交于不同两点，，直线与抛物线交于另一点．给出以下判断：① 直线与直线的斜率乘积为；②轴；③ 以为直径的圆与抛物线准线相切.其中，所有正确判断的序号是（ ）A．①②③B．①②C．①③D．②③3．下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（ ）A．B．C．D．4．若是定义域为的奇函数，且，则A．的值域为B．为周期函数，且 6 为其一个周期C．的图像关于对称D．函数的零点有无穷多个5．已知定义在上的函数满足，且当时，.设在上的最大值为（），且数列的前项的和为.若对于任意正整数不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）A．B．C．D．6．数列的通项公式为．则“”是“为递增数列”的（ ）条件．A．必要而不充分B．充要C．充分而不必要D．即不充分也不必要7．已知集合，则集合的非空子集个数是（ ）A．2B．3C．7D．88．在空间直角坐标系中，四面体各顶点坐标分别为：．假设蚂蚁窝在点，一只蚂蚁从点出发，需要在，上分别任意选择一点留下信息，然后再返回点．那么完成这个工作所需要走的最短路径长度是（ ）A．B．C．D．9．某工厂利用随机数表示对生产的 600 个零件进行抽样测试，先将 600 个零件进行编号，编号分别为 001，002，……，599,600.从中抽取 60 个样本，下图提供随机数表的第 4 行到第 6 行：若从表中第 6 行第 6 列开始向右读取数据，则得到的第 6 个样本编号是（ ）A．324B．522C．535D．57810．复数为纯虚数，则( )A．iB．﹣2iC．2iD．﹣i11．给出下列四个命题：①若“且”为假命题，则﹑均为假命题；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③若命题，，则命题，；④设集合，，则“”是“”的必要条件；其中正确命题的个数是（ ）A．B．C．D．12．已知抛物线上一点的纵坐标为 4，则点到抛物线焦点的距离为（ ）A．2B．3C．4D．5二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13．在如图所示的三角形数阵中，用表示第 行第个数，已知，且当时，每行中的其他各数均等于其“肩膀”上的两个数之和，即，若，则正整数的最小值为______.14．已知数列的各项均为正数，记为的前 n 项和，若，，则________.15．从甲、乙等 8 名志愿者中选 5 人参加周一到周五的社区服务，每天安排一人，每人只参加一天.若要求甲、乙两人至少选一人参加，且当甲、乙两人都参加时，他们参加社区服务的日期不相邻，那么不同的安排种数为______________.(用数字作答)16．记为数列的前项和.若，则______.三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12 分）如图，在三棱锥中，，是的中点，点在上，平面，平面平面，为锐角三角形，求证：（1）是的中点；（2）平面平面.18．（12 分）已知函数.（1）若在上是减函数，求实数的最大值；（2）若，求证：.19．（12 分）如图，平面四边形为直角梯形，，，，将绕着翻折到.（1）为上一点，且，当平面时，求实数的值；（2）当平面与平面所成的锐二面角大小为时，求与平面所成角的正弦.20．（12 分）在平面直角坐标系中，以 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 ：，直线 的参数方程为（ 为参数）.直线 与曲线 交于 ， 两点．（I）写出曲线 的直角坐标方程和直线 的普通方程（不要求具体过程）；（II）设，若，，成等比数列，求 的值．21．（12 分）已知函数.（1）当时.① 求函数在处的切线方程；② ...
