北京市西城区 156 中学 2023-2024 学年高三第一次模拟考试数学试卷注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0．5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知函数，若函数的图象恒在轴的上方，则实数的取值范围为（ ）A．B．C．D．2．已知正四面体的内切球体积为 v，外接球的体积为 V，则（ ）A．4B．8C．9D．273．已知集合，则( )A．B．C．D．4．设双曲线的左右焦点分别为，点.已知动点在双曲线的右支上，且点不共线.若的周长的最小值为，则双曲线的离心率 的取值范围是（ ）A．B．C．D．5．在中，角的对边分别为，，若，，且，则的面积为（ ）A．B．C．D．6．已知在中，角的对边分别为，若函数存在极值，则角的取值范围是（ ）A．B．C．D．7．已知向量与的夹角为，，，则( )A．B．0C．0 或D．8．设变量满足约束条件，则目标函数的最大值是（ ）A．7B．5C．3D．29．已知定义在上的函数满足，且当时，.设在上的最大值为（），且数列的前项的和为.若对于任意正整数不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）A．B．C．D．10．设命题 p:>1,n2>2n,则p 为（ ）A．B．C．D．11．已知函数，若，则 a 的取值范围为（ ）A．B．C．D．12．设 ,则( )A．10B．11C．12D．13二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13．已知，如果函数有三个零点，则实数的取值范围是____________14．已知（且）有最小值，且最小值不小于 1，则的取值范围为__________.15．已知非零向量，满足，且，则与的夹角为____________.16．某中学数学竞赛培训班共有 10 人，分为甲、乙两个小组，在一次阶段测试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，若甲组 5 名同学成绩的平均数为 81，乙组 5 名同学成绩的中位数为 73，则 x- y 的值为________．三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12 分）如图，在四棱柱中，底面为菱形，.（1）证明：平面平面；（2）若，是等边三角形，求二面角的余弦值.18．（12 分）某公司打算引进一台设备使用一年，现有甲、乙两种设备可供选择.甲设备每台 10000 元，乙设备每台9000 元.此外设备使用期间还需维修，对于每台设备，一年间三次及三次以内免费维修，三次以外的维修费用均为每次 1000 元.该公司统计了曾使用过的甲、乙各 50 台设备在一年间的维修次数，得到下面的频数分布表，以这两种设备分别在 50 台中的维修次数频率代替维修次数发生的概率.维修次数23456甲设备5103050乙设备05151515（1）设甲、乙两种设备每台购买和一年间维修的花费总额分别为和，求和的分布列；（2）若以数学期望为决策依据，希望设备购买和一年间维修的花费总额尽量低，且维修次数尽量少，则需要购买哪种设备？请说明理由.19．（12 分）某企业为了了解该企业工人组装某产品所用时间，对每个工人组装一个该产品的用时作了记录，得到大量统计数据．从这些统计数据中随机抽取了个数据作为样本，得到如图所示的茎叶图（单位：分钟）．若用时不超过（分钟），则称这个工人为优秀员工．（1）求这个样本数据的中位数和众数；（2）以这个样本数据中优秀员工的频率作为概率，任意调查名工人，求被调查的名工人中优秀员工的数量分布列和数学期望．20．（12 分）已知函数.（1）若曲线的切线方程为，求实数的值；（2）若函数在区间上有两个零点，求实数的取值范围.21．（12 分）如图，在平面四边形中，，，.（1）求；（2）求四边形面积的最大值.22．（10 分）已知在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐...
