北京市西城区北京师范大学附属实验中学 2023-2024 学年高三第三次模拟考试数学试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1． A．B．C．D．2．已知，是两条不重合的直线，是一个平面，则下列命题中正确的是（ ）A．若，，则B．若，，则C．若，，则D．若，，则3．已知命题，那么为（ ）A．B．C．D．4．《周易》是我国古代典籍，用“卦”描述了天地世间万象变化．如图是一个八卦图，包含乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑八卦（每一卦由三个爻组成，其中“”表示一个阳爻，“”表示一个阴爻）．若从含有两个及以上阳爻的卦中任取两卦，这两卦的六个爻中都恰有两个阳爻的概率为（ ）A．B．C．D．5．函数在内有且只有一个零点，则 a 的值为（ ）A．3B．－3C．2D．－26．已知定义在上的偶函数，当时，，设，则（ ）A．B．C．D．7．已知点是双曲线上一点，若点到双曲线的两条渐近线的距离之积为，则双曲线的离心率为（ ）A．B．C．D．28．已知集合 M＝{x|1﹣ ＜x＜2}，N＝{x|x（x+3）≤0}，则 M∩N＝（ ）A．[3﹣ ，2）B．（﹣3，2）C．（﹣1，0]D．（﹣1，0）9．已知双曲线的左、右顶点分别是，双曲线的右焦点为，点在过且垂直于轴的直线 上，当的外接圆面积达到最小时，点恰好在双曲线上，则该双曲线的方程为（ ）A．B．C．D．10．已知函数，，若对任意，总存在，使得成立，则实数的取值范围为（ ）A．B．C．D．11．复数（ ）A．B．C．0D．12．已知三棱锥中，为的中点，平面，，，则有下列四个结论：①若为的外心，则；②若为等边三角形，则；③当时，与平面所成的角的范围为；④当时，为平面内一动点，若 OM∥平面，则在内轨迹的长度为 1．其中正确的个数是（ ）．A．1B．1C．3D．4二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13．已知曲线，点，在曲线上，且以为直径的圆的方程是．则_______．14．已知圆，直线 与圆交于两点，，若，则弦的长度的最大值为___________.15．若函数，则__________；__________.16．已知函数在上仅有 2 个零点，设，则在区间上的取值范围为_______．三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12 分）已知椭圆的右顶点为，点在轴上，线段与椭圆的交点在第一象限，过点的直线 与椭圆相切，且直线 交轴于.设过点且平行于直线 的直线交轴于点.（Ⅰ）当为线段的中点时，求直线的方程；（Ⅱ）记的面积为，的面积为，求的最小值.18．（12 分）已知函数，它的导函数为．（1）当时，求的零点；（2）当时，证明：．19．（12 分）已知矩形纸片中，，将矩形纸片的右下角沿线段折叠，使矩形的顶点 B落在矩形的边上，记该点为 E，且折痕的两端点 M，N 分别在边上.设，的面积为 S.（1）将 l 表示成 θ 的函数，并确定 θ 的取值范围；（2）求 l 的最小值及此时的值；（3）问当 θ 为何值时，的面积 S 取得最小值？并求出这个最小值.20．（12 分）如图所示，四棱锥 P﹣ABCD 中，PC⊥底面 ABCD，PC＝CD＝2，E 为 AB 的中点，底面四边形 ABCD满足∠ADC＝∠DCB＝90°，AD＝1，BC＝1．（Ⅰ）求证：平面 PDE⊥平面 PAC；（Ⅱ）求直线 PC 与平面 PDE 所成角的正弦值；（Ⅲ）求二面角 D﹣PE﹣B 的余弦值．21．（12 分）随着现代社会的发展，我国对于环境保护越来越重视，企业的环保意识也越来越强.现某大型企业为此建立了 5 套环境监测系统，并制定如下方案：每年企业的环境监测费用预算定为 1200 万元，日常全天候开启 3 套环境监测系统，若至少有 2 套系统监测出排放超标，则立即检查污染源处理系统；若有且只有 1 套系统监测出排放超标，则立即同时启动另...
