四川省成都市龙泉驿一中 2024 年高三下学期联考数学试题注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0．5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知向量，，若，则与夹角的余弦值为（ ）A．B．C．D．2．《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中，如图，白圈为阳数，黑点为阴数，若从阴数和阳数中各取一数，则其差的绝对值为 5 的概率为A．B．C．D．3．已知斜率为的直线与双曲线交于两点，若为线段中点且（为坐标原点），则双曲线的离心率为（ ）A．B．3C．D．4．已知平面向量，，满足：，，则的最小值为( )A．5B．6C．7D．85．在中，“”是“”的（ ）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．3 本不同的语文书，2 本不同的数学书，从中任意取出 2 本，取出的书恰好都是数学书的概率是（ ）A．B．C．D．7．已知为定义在上的奇函数，且满足当时，，则（ ）A．B．C．D．8．抛物线的焦点为，则经过点与点且与抛物线的准线相切的圆的个数有（ ）A．1 个B．2 个C．0 个D．无数个9．已知三棱锥的体积为 2，是边长为 2 的等边三角形，且三棱锥的外接球的球心恰好是中点，则球的表面积为（ ）A．B．C．D．10．若复数（）在复平面内的对应点在直线上，则等于( )A．B．C．D．11．已知是双曲线的两个焦点，过点且垂直于轴的直线与相交于两点，若，则的内切圆半径为（ ）A．B．C．D．12．已知，若方程有唯一解，则实数的取值范围是( )A．B．C．D．二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13．设 α、β 为互不重合的平面，m，n 是互不重合的直线，给出下列四个命题：① 若 m∥n，则 m∥α；② 若 m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则 α∥β；③ 若 α∥β，m⊂α，n⊂β，则 m∥n；④ 若 α⊥β，α∩β＝m，n⊂α，m⊥n，则 n⊥β；其中正确命题的序号为_____．14．若非零向量，满足，，，则______.15．已知椭圆的左、右焦点分别为、，过椭圆的右焦点作一条直线 交椭圆于点、.则内切圆面积的最大值是_________.16．已知等比数列满足公比，为其前项和，，，构成等差数列，则_______．三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12 分）已知三棱柱中，，是的中点，，.（1）求证：；（2）若侧面为正方形，求直线与平面所成角的正弦值.18．（12 分）如图，四边形是边长为 3 的菱形，平面.（1）求证：平面；（2）若与平面所成角为，求二面角的正弦值.19．（12 分）在三棱锥中，是边长为的正三角形，平面平面，，M、N 分别为、的中点.（1）证明：；（2）求三棱锥的体积.20．（12 分）在平面直角坐标系中，已知直线 的参数方程为（ 为参数），圆的方程为，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求 和的极坐标方程；（2）过且倾斜角为的直线与 交于点，与交于另一点，若，求的取值范围.21．（12 分）已知函数．（1）当时，解关于 x 的不等式；（2）当时，若对任意实数，都成立，求实数的取值范围．22．（10 分）已知函数的定义域为，且满足，当时，有，且.（1）求不等式的解集；（2）对任意，恒成立，求实数的取值范围.参考答案一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】直接利用向量的坐标运算得到向量的坐标，利用求得参数 m，再用计算即可.【详解】依题意，， 而， 即， 解得，...
