山西省忻州市忻州一中 2023-2024 学年高三 3 月份第一次模拟考试数学试卷注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0．5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知双曲线的一条渐近线经过圆的圆心，则双曲线的离心率为（ ）A．B．C．D．22．已知函数，，若总有恒成立.记的最小值为，则的最大值为（ ）A．1B．C．D．3．设复数满足（ 为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（ ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．已知正四面体的棱长为 ，是该正四面体外接球球心，且，，则（ ）A．B．C．D．5．已知向量，是单位向量，若，则（ ）A．B．C．D．6．设，是方程的两个不等实数根，记（）.下列两个命题（ ）① 数列的任意一项都是正整数；② 数列存在某一项是 5 的倍数.A．①正确，②错误B．①错误，②正确C．①②都正确D．①②都错误7．已知命题，且是的必要不充分条件，则实数的取值范围为（ ）A．B．C．D．8．如图，在四边形中，，，，，，则的长度为（ ）A．B．C．D．9．（ ）A．B．C．D．10．已知曲线的一条对称轴方程为，曲线向左平移个单位长度，得到曲线的一个对称中心的坐标为，则的最小值是（ ）A．B．C．D．11．已知抛物线的焦点为，为抛物线上一点，，当周长最小时，所在直线的斜率为（ ）A．B．C．D．12．如图所示，网格纸上小正方形的边长为 ，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的各个面中最大面的面积为（ ）A．B．C．D．二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13．已知圆柱的上、下底面的中心分别为，，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为 8 的正方形，则该圆柱的表面积为______．14．已知双曲线的一条渐近线方程为，则________．15．已知平行于轴的直线 与双曲线：的两条渐近线分别交于，两点，为坐标原点，若为等边三角形，则双曲线的离心率为______.16．若复数 z 满足，其中 i 是虚数单位，则 z 的模是______.三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12 分）某市环保部门对该市市民进行了一次垃圾分类知识的网络问卷调查，每位市民仅有一次参加机会，通过随机抽样，得到参与问卷调查的 100 人的得分（满分：100 分）数据，统计结果如表所示：组别男235151812女051010713 (1)若规定问卷得分不低于 70 分的市民称为“环保关注者”，请完成答题卡中的列联表，并判断能否在犯错误概率不超过 0.05 的前提下，认为是否为“环保关注者”与性别有关？(2)若问卷得分不低于 80 分的人称为“环保达人”．视频率为概率．① 在我市所有“环保达人”中，随机抽取 3 人，求抽取的 3 人中，既有男“环保达人”又有女“环保达人”的概率；② 为了鼓励市民关注环保，针对此次的调查制定了如下奖励方案：“环保达人”获得两次抽奖活动；其他参与的市民获得一次抽奖活动．每次抽奖获得红包的金额和对应的概率.如下表：红包金额（单位：元）1020概率现某市民要参加此次问卷调查，记（单位：元）为该市民参加间卷调查获得的红包金额，求的分布列及数学期望．附表及公式：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82818．（12 分）在直角坐标系中，已知点，若以线段为直径的圆与轴相切.（1）求点的轨迹的方程；（2）若上存在两动点（A，B 在轴异侧）满足，且的周长为，求的值.19．（12 分）如图，已知正方形所在平面与梯形所在平面垂直，BM∥AN，，，．（1）证明：平面；（2）求点 N 到平面 CDM 的距离．20．（12 分）已知函数（），不等式的解集为.（1）求的值；（2）若，，，...
