山西省朔州一中 2023-2024 学年高三下第一次测试数学试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知菱形的边长为 2，，则（）A．4B．6C．D．2．正的边长为 2，将它沿边上的高翻折，使点与点间的距离为，此时四面体的外接球表面积为（ ）A．B．C．D．3．已知 a，b 是两条不同的直线，α，β 是两个不同的平面，且，，则“”是“”的（ ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．已知集合，则=（ ）A．B．C．D．5．古希腊数学家毕达哥拉斯在公元前六世纪发现了第一、二个“完全数”6 和 28，进一步研究发现后续三个“完全数”分别为 496，8128，33550336，现将这五个“完全数”随机分为两组，一组 2 个，另一组 3 个，则 6 和 28 恰好在同一组的概率为 A．B．C．D．6．如图示，三棱锥的底面是等腰直角三角形，，且，，则与面所成角的正弦值等于（ ）A．B．C．D．7．2020 年是脱贫攻坚决战决胜之年，某市为早日实现目标，现将甲、乙、丙、丁 4 名干部派遺到、 、 三个贫困县扶贫，要求每个贫困县至少分到一人，则甲被派遣到县的分法有（ ）A．6 种B．12 种C．24 种D．36 种8．已知曲线且过定点，若且，则的最小值为（ ）.A．B．9C．5D．9．已知向量，且，则 m=( )A．−8B．−6C．6D．810．已知集合，，，则的子集共有（ ）A．个B．个C．个D．个11．下列说法正确的是（ ）A．“若，则”的否命题是“若，则”B．在中，“”是“”成立的必要不充分条件C．“若，则”是真命题D．存在，使得成立12．根据散点图，对两个具有非线性关系的相关变量 x，y 进行回归分析，设 u= lny，v=(x-4)2，利用最小二乘法，得到线性回归方程为=0.5v+2，则变量 y 的最大值的估计值是（ ）A．eB．e2C．ln2D．2ln2二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13．设 P 为有公共焦点的椭圆与双曲线的一个交点，且，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，若，则______________.14．已知函数若关于的不等式的解集是，则的值为_____．15．记为数列的前项和.若，则______.16．已知函数，若函数恰有 4 个零点，则实数的取值范围是________．三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12 分）如图，四边形是边长为 3 的菱形，平面.（1）求证：平面；（2）若与平面所成角为，求二面角的正弦值.18．（12 分）选修 4-4：坐标系与参数方程已知曲线的参数方程是（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是.（1）写出的极坐标方程和的直角坐标方程；（2）已知点、的极坐标分别为和，直线与曲线相交于，两点，射线与曲线相交于点，射线与曲线相交于点，求的值.19．（12 分）已知椭圆，点为半圆上一动点，若过作椭圆的两切线分别交轴于、两点.（1）求证：；（2）当时，求的取值范围.20．（12 分）设椭圆的左右焦点分别为，离心率是 ，动点在椭圆上运动，当轴时，.（1）求椭圆的方程；（2）延长分别交椭圆于点（不重合）.设，求的最小值.21．（12 分）已知函数（），且只有一个零点.（1）求实数 a 的值；（2）若，且，证明：.22．（10 分）古人云：“腹有诗书气自华.”为响应全民阅读，建设书香中国，校园读书活动的热潮正在兴起.某校为统计学生一周课外读书的时间，从全校学生中随机抽取名学生进行问卷调査，统计了他们一周课外读书时间（单位：）的数据如下：一周课外读书时间/合计频数46101214244634频率0.020.030.050.060.070.120.250.171（1）根据表格中提供的数据，求，，的值...
