广东广州越秀区培正中学 2023-2024 学年高三下学期联合考试数学试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用 2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．港珠澳大桥于 2018 年 10 月 2 刻日正式通车，它是中国境内一座连接香港、珠海和澳门的桥隧工程，桥隧全长 55 千米．桥面为双向六车道高速公路，大桥通行限速 100km/h，现对大桥某路段上 1000 辆汽车的行驶速度进行抽样调查．画出频率分布直方图（如图），根据直方图估计在此路段上汽车行驶速度在区间[85，90）的车辆数和行驶速度超过90km/h 的频率分别为（ ）A．300，B．300，C．60，D．60，2． “哥德巴赫猜想”是近代三大数学难题之一，其内容是：一个大于 2 的偶数都可以写成两个质数(素数)之和，也就是我们所谓的“1+1”问题.它是 1742 年由数学家哥德巴赫提出的，我国数学家潘承洞、王元、陈景润等在哥德巴赫猜想的证明中做出相当好的成绩.若将 6 拆成两个正整数的和，则拆成的和式中，加数全部为质数的概率为（ ）A．B．C．D．3．已知函数，若，使得，则实数的取值范围是（ ）A．B．C．D．4．若函数（）的图象过点，则（ ）A．函数的值域是B．点是的一个对称中心C．函数的最小正周期是D．直线是的一条对称轴5．中，，为的中点，，，则（ ）A．B．C．D．26．记为等差数列的前项和.若，，则（ ）A．5B．3C．－12D．－137．已知是等差数列的前项和，，，则（ ）A．85B．C．35D．8．如图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形的斜边，直角边.已知以直角边为直径的半圆的面积之比为，记，则（ ）A．B．C．D．9．已知直线与直线则“”是“”的（ ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件10．函数的定义域为（ ）A．[ ，3）∪（3，+∞） B．（-∞，3）∪（3，+∞）C．[ ，+∞） D．（3，+∞）11．已知 是虚数单位，若，则（ ）A．B．2C．D．312．已知复数 z＝（1+2i）（1+ai）（a∈R），若 z∈R，则实数 a＝（ ）A．B．C．2D．﹣2二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13．将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落.小球在下落的过程中，将 3 次遇到黑色障碍物，最后落入袋或袋中.己知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是，则小球落入袋中的概率为__________．14．已知，则_____。15．已知平面向量，，满足||＝1，||＝2，，的夹角等于，且（）•（）＝0，则||的取值范围是_____．16．已知为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上移动时，的内心的轨迹方程为__________．三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12 分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（ 为参数，），点.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的直角坐标方程，并指出其形状；（2）曲线与曲线交于，两点，若，求的值.18．（12 分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数).以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为()，将曲线向左平移 2 个单位长度得到曲线.（1）求曲线的普通方程和极坐标方程；（2）设直线 与曲线交于两点，求的取值范围.19．（12 分）在平面四边形(图①)中，与均为直角三角形且有公共斜边，设，∠，∠，将沿折起，构成如图②所示的三棱锥，且使=. （1）求证：平面⊥平面；（2）求二面角的余弦值.20．（12 分）设数列是公差不为零的等差数列，其前项和为，，若，，成等比数列．（1）求及；（2）设，设数列的前项和，证明：．21．（12 分）已知函数.（1）解不等式；（2）若函数最小值为，且，求的最小值.22．（10 分）在平面直角坐标系...
