广东潮州市高级中学 2024 届高三冲刺模拟数学试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若复数满足，则对应的点位于复平面的（ ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．已知函数的最大值为，若存在实数，使得对任意实数总有成立，则的最小值为（ ）A．B．C．D．3．已知三棱锥中，为的中点，平面，，，则有下列四个结论：①若为的外心，则；②若为等边三角形，则；③当时，与平面所成的角的范围为；④当时，为平面内一动点，若 OM∥平面，则在内轨迹的长度为 1．其中正确的个数是（ ）．A．1B．1C．3D．44．网络是一种先进的高频传输技术，我国的技术发展迅速，已位居世界前列.华为公司 2019 年 8 月初推出了一款手机，现调查得到该款手机上市时间和市场占有率（单位：%）的几组相关对应数据.如图所示的折线图中，横轴 1 代表 2019 年 8 月，2 代表 2019 年 9 月……，5 代表 2019 年 12 月，根据数据得出关于的线性回归方程为.若用此方程分析并预测该款手机市场占有率的变化趋势，则最早何时该款手机市场占有率能超过 0.5%（精确到月）（ ）A．2020 年 6 月B．2020 年 7 月C．2020 年 8 月D．2020 年 9 月5．已知数列的通项公式是，则（ ）A．0B．55C．66D．786．在中，，，，点满足，则等于（ ）A．10B．9C．8D．77．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为（ ）A．B．C．D．8．已知双曲线的右焦点为，若双曲线的一条渐近线的倾斜角为，且点到该渐近线的距离为，则双曲线的实轴的长为A．B．C．D．9．记为数列的前项和数列对任意的满足.若，则当取最小值时，等于（ ）A．6B．7C．8D．910．已知平面向量，满足且，若对每一个确定的向量，记的最小值为，则当变化时，的最大值为（ ）A．B．C．D．111．已知集合，则( )A．B．C．D．12．过双曲线 的左焦点作直线交双曲线的两天渐近线于,两点，若为线段的中点，且（为坐标原点），则双曲线的离心率为（ ）A．B．C．D．二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13．已知函数是定义在上的奇函数，则的值为__________．14．已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，，是边长为 2 的正三角形，，则球的体积为__________．15．在平面直角坐标系中，曲线上任意一点到直线的距离的最小值为________．16．函数的定义域是____________．（写成区间的形式）三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12 分）如图，在四棱锥中，平面，，为的中点．（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值．18．（12 分）在新中国成立 70 周年国庆阅兵庆典中，众多群众在脸上贴着一颗红心，以此表达对祖国的热爱之情，在数学中，有多种方程都可以表示心型曲线，其中有著名的笛卡尔心型曲线，如图，在直角坐标系中，以原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.图中的曲线就是笛卡尔心型曲线，其极坐标方程为（），M 为该曲线上的任意一点.（1）当时，求 M 点的极坐标；（2）将射线 OM 绕原点 O 逆时针旋转与该曲线相交于点 N，求的最大值.19．（12 分）已知函数，为实数，且．（Ⅰ）当时，求的单调区间和极值；（Ⅱ）求函数在区间，上的值域（其中 为自然对数的底数）．20．（12 分）已知函数，直线 是曲线在处的切线． （1）求证：无论实数取何值，直线 恒过定点，并求出该定点的坐标； （2）若直线 经过点，试判断函数的零点个数并证明．21．（12 分）我们称 n（）元有序实数组（，，…，）为 n 维向量，为该向量的范数.已知 n 维向量，其中，，2，…，n.记范数为奇数的 n 维向量的个数为，这个向量的范数之和为.（1）求...
