广东省增城市 2023-2024 学年高三下第一次测试数学试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知复数，（ 为虚数单位），若为纯虚数，则（ ）A．B．2C．D．2．函数的图象大致为（ ）A．B．C．D．3．《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤；斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何?”意思是：“现在有一根金箠， 长五尺在粗的一端截下一尺，重斤；在细的一端截下一尺，重斤，问各尺依次重多少?”按这一问题的颗设，假设金箠由粗到细各尺重量依次成等差数列，则从粗端开始的第二尺的重量是（ ）A．斤B． 斤C．斤D．斤4．执行如图所示的程序框图，若输入，，则输出的值为（ ）A．0B．1C．D．5．设，其中 a，b 是实数，则（ ）A．1B．2C．D．6．已知是第二象限的角，，则( )A．B．C．D．7．五名志愿者到三个不同的单位去进行帮扶，每个单位至少一人，则甲、乙两人不在同一个单位的概率为（ ）A．B．C．D．8．已知抛物线和点，直线与抛物线交于不同两点，，直线与抛物线交于另一点．给出以下判断：① 以为直径的圆与抛物线准线相离；② 直线与直线的斜率乘积为；③ 设过点，，的圆的圆心坐标为，半径为，则．其中，所有正确判断的序号是（ ）A．①②B．①③C．②③D．①②③9． “哥德巴赫猜想”是近代三大数学难题之一，其内容是：一个大于 2 的偶数都可以写成两个质数(素数)之和，也就是我们所谓的“1+1”问题.它是 1742 年由数学家哥德巴赫提出的，我国数学家潘承洞、王元、陈景润等在哥德巴赫猜想的证明中做出相当好的成绩.若将 6 拆成两个正整数的和，则拆成的和式中，加数全部为质数的概率为（ ）A．B．C．D．10．设集合，，则（ ）．A．B．C．D．11．由曲线 y＝x2与曲线 y2＝x 所围成的平面图形的面积为( )A．1B．C．D．12．三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明.下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实.图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用，化简，得.设勾股形中勾股比为，若向弦图内随机抛掷颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉数大约为（ ）A．B．C．D．二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13．观察下列式子，，，，……，根据上述规律，第个不等式应该为__________．14．已知集合，则____________.15．已知复数，其中 为虚数单位，则的模为_______________.16．若函数为奇函数，则_______.三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12 分）已知椭圆的左，右焦点分别为，，，M 是椭圆 E 上的一个动点，且的面积的最大值为.（1）求椭圆 E 的标准方程，（2）若，，四边形 ABCD 内接于椭圆 E，，记直线 AD，BC 的斜率分别为，，求证:为定值.18．（12 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆的离心率为，且过点. 为椭圆的右焦点， 为椭圆上关于原点对称的两点，连接分别交椭圆于两点.⑴ 求椭圆的标准方程；⑵ 若，求的值；⑶ 设直线， 的斜率分别为， ，是否存在实数，使得，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.19．（12 分）设函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若恒成立，求的取值范围.20．（12 分）某学生为了测试煤气灶烧水如何节省煤气的问题设计了一个实验，并获得了煤气开关旋钮旋转的弧度数x 与烧开一壶水所用时间 y 的一组数据，且作了一定的数据处理（如表），得到了散点图（如图）.表中，.（1）根据散点...
