广东省广州市广东仲元中学 2024 年高三冲刺模拟数学试卷注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0．5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知函数，给出下列四个结论：①函数的值域是；②函数为奇函数；③函数在区间单调递减；④若对任意，都有成立，则的最小值为；其中正确结论的个数是（ ）A．B．C．D．2．已知集合．为自然数集，则下列表示不正确的是（ ）A．B．C．D．3．已知实数，满足约束条件，则目标函数的最小值为A．B．C．D．4．若复数满足，则（ ）A．B．C．D．5．在中，为边上的中线，为的中点，且，，则（ ）A．B．C．D．6．某网店 2019 年全年的月收支数据如图所示，则针对 2019 年这一年的收支情况，下列说法中错误的是（ ）A．月收入的极差为 60B．7 月份的利润最大C．这 12 个月利润的中位数与众数均为 30D．这一年的总利润超过 400 万元7． 为虚数单位,则的虚部为（ ）A．B．C．D．8．已知表示两条不同的直线，表示两个不同的平面，且则“”是“”的( )条件.A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要9．在中，角所对的边分别为，已知，则（ ）A．或B．C．D．或10．《易经》包含着很多哲理，在信息学、天文学中都有广泛的应用，《易经》的博大精深，对今天 的几何学和其它学科仍有深刻的影响．下图就是易经中记载的几何图形——八卦田，图中正八 边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，八块面积相等的曲边梯形代表八卦田．已知正八边 形的边长为，阴阳太极图的半径为，则每块八卦田的面积约为（ ）A．B．C．D．11．在复平面内，复数（，）对应向量（O 为坐标原点），设，以射线 Ox 为始边，OZ 为终边旋转的角为，则，法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理：，，则，由棣莫弗定理可以导出复数乘方公式：，已知，则（ ）A．B．4C．D．1612．已知复数（ 为虚数单位，），则在复平面内对应的点所在的象限为（ ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13．在各项均为正数的等比数列中，，且，成等差数列，则___________.14．已知数列递增的等比数列，若，，则______.15．从集合中随机取一个元素，记为，从集合中随机取一个元素，记为，则的概率为_______．16．已知，那么______.三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12 分）已知函数，函数（）.（1）讨论的单调性；（2）证明：当时，.（3）证明：当时，.18．（12 分）在平面直角坐标系中，直线 的参数方程为（ 为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）若，求曲线与 的交点坐标；（2）过曲线上任意一点作与 夹角为 45°的直线，交 于点，且的最大值为，求的值.19．（12 分）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若，设，证明：，，使.20．（12 分）某健身馆为响应十九届四中全会提出的“聚焦增强人民体质，健全促进全民健身制度性举措”，提高广大市民对全民健身运动的参与程度，推出了健身促销活动，收费标准如下：健身时间不超过 1 小时免费，超过 1 小时的部分每小时收费标准为 20 元（不足 l 小时的部分按 1 小时计算）.现有甲、乙两人各自独立地来该健身馆健身，设甲、乙健身时间不超过 1 小时的概率分别为，，健身时间 1 小时以上且不超过 2 小时的概率分别为，，且两人健身时间都不会超过 3 小时.（1）设甲、乙两人所付的健身费用之和为随机变量（单位：元），求的分布列与数学期望；（2）此促销活动推出后，健身馆预计每天约有 300 人来参...
