广东省广州市育才中学 2024 年高三第一次调研测试数学试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合，则集合真子集的个数为（ ）A．3B．4C．7D．82．在关于的不等式中，“”是“恒成立”的（ ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．已知是圆心为坐标原点，半径为 1 的圆上的任意一点，将射线绕点逆时针旋转到交圆于点，则的最大值为（ ）A．3B．2C．D．4．的展开式中有理项有（ ）A．项B．项C．项D．项5．已知随机变量服从正态分布，且，则（ ）A．B．C．D．6．已知集合，则为（ ）A．[0，2)B．(2，3]C．[2，3]D．(0，2]7．如图所示，在平面直角坐标系中，是椭圆的右焦点，直线与椭圆交于，两点，且，则该椭圆的离心率是（ ）A．B．C．D．8．已知定义在上函数的图象关于原点对称，且，若，则（ ）A．0B．1C．673D．6749．已知为圆：上任意一点，，若线段的垂直平分线交直线于点，则点的轨迹方程为( )A．B．C．（）D．（）10．若函数，在区间上任取三个实数，，均存在以，，为边长的三角形，则实数的取值范围是（ ）A．B．C．D．11．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的 6 个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”．如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦至少有 2 个阳爻的概率是（ ）A．B．C．D．12．已知 为虚数单位，若复数，，则A．B．C．D．二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13．已知函数是定义在上的奇函数，且周期为，当时，，则的值为___________________．14．设 O 为坐标原点, ,若点 B(x,y)满足，则的最大值是__________．15．若向量与向量垂直，则______.16．已知数列的前项和为，且成等差数列，，数列的前项和为，则满足的最小正整数的值为______________.三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12 分）在中，，.已知分别是的中点.将沿折起，使到的位置且二面角的大小是 60°，连接，如图：（1）证明：平面平面（2）求平面与平面所成二面角的大小.18．（12 分）设数列是等比数列，，已知, (1)求数列的首项和公比；（2）求数列的通项公式．19．（12 分）已知数列是各项均为正数的等比数列，数列为等差数列，且，，.（1）求数列与的通项公式；（2）求数列的前项和；（3）设为数列的前项和，若对于任意，有，求实数 的值.20．（12 分）已知函数.（1）当时，求函数的值域.（2）设函数，若，且的最小值为，求实数的取值范围.21．（12 分）如图，在三棱柱中，是边长为 2 的菱形，且，是矩形，，且平面平面，点在线段上移动（不与重合），是的中点.（1）当四面体的外接球的表面积为时，证明：.平面（2）当四面体的体积最大时，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.22．（10 分）如图，在四棱锥中，底面为菱形，底面，.（1）求证：平面；（2）若直线与平面所成的角为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.参考答案一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】解出集合，再由含有个元素的集合，其真子集的个数为个可得答案.【详解】解：由，得所以集合的真子集个数为个.故选：C【点睛】此题考查利用集合子集个数判断集合元素个数的应用，含有个元素的集合，其真子集的个数为个，属于基础题.2、C【解析】讨论当时，是否恒成立；讨论当恒成立时，是否成立，即可选出正确答案.【详解】解：当时，，由开口向上，则恒成立；当恒成立时，若，则 不恒成立，不符合题意，若 时，要使得恒成立，则 ，即 .所以“”...
