广东省广州市越秀区实验中学2024年高三下第一次测试数学试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．达芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名.如图，画中女子神秘的微笑，，数百年来让无数观赏者人迷.某业余爱好者对《蒙娜丽莎》的缩小影像作品进行了粗略测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角处作圆弧的切线，两条切线交于点，测得如下数据：（其中）.根据测量得到的结果推算：将《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角大约等于（）A．B．C．D．2．函数的图像大致为（）.A．B．C．D．3．函数（）的图像可以是（）A．B．C．D．4．已知，满足条件（为常数），若目标函数的最大值为9，则（）A．B．C．D．5．若的内角满足，则的值为（）A．B．C．D．6．若为虚数单位，则复数在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限7．“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件8．运行如图程序，则输出的S的值为（）A．0B．1C．2018D．20179．已知，的中点，连接是边长为1的等边三角形，点，分别是边并延长到点，使得，则的值为（）A．B．C．D．10．设复数z＝，则z＝（）A．B．C．D．11．下图为一个正四面体的侧面展开图，为的中点，则在原正四面体中，直线与直线所成角的余弦值为（）A．B．C．D．12．《周易》是我国古代典籍，用“卦”描述了天地世间万象变化．如图是一个八卦图，包含乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑八卦（每一卦由三个爻组成，其中“”表示一个阳爻，“”表示一个阴爻）若从八卦中任取两卦，这两卦的六个爻中恰有两个阳爻的概率为（）A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．一个房间的地面是由12个正方形所组成，如图所示.今想用长方形瓷砖铺满地面，已知每一块长方形瓷砖可以覆盖两块相邻的正方形，即或，则用6块瓷砖铺满房间地面的方法有_______种.14．某市公租房源位于、、三个小区，每位申请人只能申请其中一个小区的房子，申请其中任意一个小区的房子是等可能的，则该市的任意位申请人中，恰好有人申请小区房源的概率是______.（用数字作答）15．如图，、分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的两条渐近线分别交于、两点，若，，则双曲线的离心率是______.16．已知在△ABC中，（2sin32°，2cos32°），（cos77°，﹣cos13°），则⋅_____，△ABC的面积为_____．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）设函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若不等式恒成立，求实数a的取值范围.18．（12分）已知函数．（1）若，证明：当时，；（2）若在只有一个零点，求的值.19．（12分）某早餐店对一款新口味的酸奶进行了一段时间试销，定价为元/瓶.酸奶在试销售期间足量供应，每天的销售数据按照，，，分组，得到如下频率分布直方图，以不同销量的频率估计概率.从试销售期间任选三天，求其中至少有一天的酸奶销量大于瓶的概率；试销结束后，这款酸奶正式上市，厂家只提供整箱批发：大箱每箱瓶，批发成本元；小箱每箱瓶，批发成本元.由于酸奶保质期短，当天未卖出的只能作废.该早餐店以试销售期间的销量作为参考，决定每天仅批发一箱（计算时每个分组取中间值作为代表，比如销量为时看作销量为瓶）.①设早餐店批发一大箱时，当天这款酸奶的利润为随机变量，批发一小箱时，当天这款酸奶的利润为随机变量，求和的分布列和数学期望；②以利润作为决策依据，该早餐店应每天批发一大箱还是一小箱？注：销售额=销量×定价；利润=销售额－批发成本.20．（12分）如图，在正四棱锥中，，，为上的四等分点，即．（1）证明：平面平面；（2）求平面与平面所成锐二...
