广东省深中、华附、省实、广雅四校联考 2024 年高三第五次模拟考试数学试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为A．B．C．2D．2．数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面.一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的结合产物，曲线恰好是四叶玫瑰线.给出下列结论：①曲线 C 经过 5 个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线 C 上任意一点到坐标原点 O 的距离都不超过 2；③曲线 C 围成区域的面积大于；④方程表示的曲线 C 在第二象限和第四象限其中正确结论的序号是( )A．①③B．②④C．①②③D．②③④3．设，，，则，，三数的大小关系是A．B．C．D．4．已知实数 x，y 满足约束条件，若的最大值为 2，则实数 k 的值为（ ）A．1B．C．2D．5．已知半径为 2 的球内有一个内接圆柱，若圆柱的高为 2，则球的体积与圆柱的体积的比为（ ）A．B．C．D．6．点是单位圆上不同的三点，线段与线段交于圆内一点 M，若，则的最小值为（ ） A．B．C．D．7．已知函数若对区间内的任意实数，都有，则实数的取值范围是( ）A．B．C．D．8．阿基米德（公元前 287 年—公元前 212 年）是古希腊伟大的哲学家、数学家和物理学家，他和高斯、牛顿并列被称为世界三大数学家.据说，他自己觉得最为满意的一个数学发现就是“圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二，并且球的表面积也是圆柱表面积的三分之二”.他特别喜欢这个结论，要求后人在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一个球，如图，该球顶天立地，四周碰边，表面积为的圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则该球的体积为 （ ）A．B．C．D．9．已知直线 ：过双曲线的一个焦点且与其中一条渐近线平行，则双曲线的方程为（ ）A．B．C．D．10．若、满足约束条件，则的最大值为（ ）A．B．C．D．11．若不等式在区间内的解集中有且仅有三个整数，则实数的取值范围是( )A．B．C．D．12．已知向量与的夹角为，，，则( )A．B．0C．0 或D．二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13．在平面五边形中，，，，且.将五边形沿对角线折起，使平面与平面所成的二面角为，则沿对角线折起后所得几何体的外接球的表面积是______.14．已知抛物线的对称轴与准线的交点为，直线与交于，两点，若，则实数__________．15．已知变量 (m>0)，且，若恒成立，则 m 的最大值________．16． “六艺”源于中国周朝的贵族教育体系，具体包括“礼、乐、射、御、书、数”．某校在周末学生业余兴趣活动中开展了“六艺”知识讲座，每艺安排一节，连排六节，则满足“礼”与“乐”必须排在前两节，“射”和“御”两讲座必须相邻的不同安排种数为________．三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12 分）已知函数（，）满足下列 3 个条件中的 2 个条件：① 函数的周期为；②是函数的对称轴；③且在区间上单调.（Ⅰ）请指出这二个条件，并求出函数的解析式；（Ⅱ）若，求函数的值域.18．（12 分）在平面直角坐标系中，将曲线（为参数）通过伸缩变换，得到曲线，设直线（ 为参数)与曲线相交于不同两点，.（1）若，求线段的中点的坐标；（2）设点，若，求直线 的斜率.19．（12 分）在极坐标系中，直线 的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线的参数方程为（为参数），求直线 与曲线的交点的直角坐标.20．（12 分）已知，设函数(I)若，求的单调区间：(II)当时，的最小值为 0，求的最大值.注：…为自然对数的底数.21．（12 分）在孟德尔遗传理论中，称遗传性状依赖的特定携带者为遗传因子，...
