广西桂林中山中学 2024 年高三第四次模拟考试数学试卷请考生注意：1．请用 2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用 0．5 毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设不等式组，表示的平面区域为，在区域内任取一点，则点的坐标满足不等式的概率为A．B．C．D．2．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）A．若，，，则B．若，，，则C．若，，，则D．若，，，则3．下列函数中，值域为的偶函数是（ ）A．B．C．D．4．若 2m＞2n＞1，则（ ）A．B．πm﹣n＞1C．ln（m﹣n）＞0D．5．已知棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的四个面中，最大面积为（ ）A．B．C．D．6．已知等差数列的公差为，前项和为，，，为某三角形的三边长，且该三角形有一个内角为，若对任意的恒成立，则实数（ ）.A．6B．5C．4D．37．已知向量，，且与的夹角为，则（ ）A．B．1C．或 1D．或 98．如图，在三棱锥中，平面，，现从该三棱锥的个表面中任选个，则选取的个表面互相垂直的概率为（ ）A．B．C．D．9．已知集合，则集合的非空子集个数是（ ）A．2B．3C．7D．810．设全集，集合，，则集合（ ）A．B．C．D．11．执行如图所示的程序框图，输出的结果为（ ）A．B．C．D．12．在中，是的中点，，点在上且满足，则等于（ ）A．B．C．D．二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13．设，满足约束条件，则的最大值为______.14．已知双曲线的左焦点为，、为双曲线上关于原点对称的两点，的中点为，的中点为，的中点为，若，且直线的斜率为，则__________，双曲线的离心率为__________．15．如图所示，直角坐标系中网格小正方形的边长为 1，若向量、 、 满足，则实数 的值为_______． 16．已知半径为的圆周上有一定点，在圆周上等可能地任意取一点与点连接，则所得弦长介于与之间的概率为__________．三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12 分）已知矩阵，求矩阵的特征值及其相应的特征向量．18．（12 分）已知各项均为正数的数列的前项和为，满足，，，，恰为等比数列的前 3 项．（1）求数列，的通项公式；（2）求数列的前项和为；若对均满足，求整数的最大值；（3）是否存在数列满足等式成立，若存在，求出数列的通项公式；若不存在，请说明理由．19．（12 分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的极坐标方程以及曲线的直角坐标方程；（2）若直线与曲线、曲线在第一象限交于两点，且，点的坐标为，求的面积.20．（12 分）已知.（Ⅰ） 若，求不等式的解集；（Ⅱ），，，求实数的取值范围.21．（12 分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；（2）设为曲线上位于第一，二象限的两个动点，且，射线交曲线分别于，求面积的最小值，并求此时四边形的面积.22．（10 分）如图，在正四棱锥中，，，为上的四等分点，即．（1）证明：平面平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．参考答案一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】画出不等式组表示的区域，求出其面积，再得到在区域内的面积，根据几何概型的公式，得到答案.【详解】画出所表示的区域，易知，所以的面积为，满足不等式的点，在区域内是一个以原点为圆心，为半径的圆面，其面积为，由几何概型的公式可得其概率为，故选 A 项.【点睛】本题考查由约束条件画可行域，求几何概型，属于简单题.2、D【解析】试题分析：，,故选 D.考点：点...
