广西省桂林市 2023-2024 学年高三下学期第五次调研考试数学试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若复数（为虚数单位）的实部与虚部相等，则的值为( )A．B．C．D．2．如图所示，为了测量、两座岛屿间的距离，小船从初始位置出发，已知在的北偏西的方向上，在的北偏东的方向上，现在船往东开 2 百海里到达处，此时测得在的北偏西的方向上，再开回处，由向西开百海里到达处，测得在的北偏东的方向上，则、两座岛屿间的距离为（ ）A．3B．C．4D．3．已知命题：是“直线和直线互相垂直”的充要条件；命题：对任意都有零点；则下列命题为真命题的是（ ）A．B．C．D．4．已知双曲线的一条渐近线方程是，则双曲线的离心率为（ ）A．B．C．D．5．已知正三棱锥的所有顶点都在球的球面上，其底面边长为 4，、、分别为侧棱，，的中点.若在三棱锥内，且三棱锥的体积是三棱锥体积的 4 倍，则此外接球的体积与三棱锥体积的比值为（ ）A．B．C．D．6．如图，双曲线的左，右焦点分别是直线与双曲线的两条渐近线分别相交于两点.若则双曲线的离心率为（ ）A．B．C．D．7．若向量，则（ ）A．30B．31C．32D．338．已知复数 z1=3+4i,z2=a+i,且 z1是实数,则实数 a 等于( )A．B．C．-D．-9．已知、，，则下列是等式成立的必要不充分条件的是（ ）A．B．C．D．10．已知数列是公差为的等差数列，且成等比数列，则（ ）A．4B．3C．2D．111．设，是方程的两个不等实数根，记（）.下列两个命题（ ）① 数列的任意一项都是正整数；② 数列存在某一项是 5 的倍数.A．①正确，②错误B．①错误，②正确C．①②都正确D．①②都错误12．若复数满足，则( )A．B．C．D．二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13．在平面直角坐标系中，圆.已知过原点且相互垂直的两条直线和，其中与圆相交于，两点，与圆相切于点.若，则直线的斜率为_____________.14．已知双曲线的左右焦点分别关于两渐近线对称点重合，则双曲线的离心率为_____15．在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点 D，且，则的最小值为________．16．已知的展开式中第项与第项的二项式系数相等，则__________.三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12 分）如图所示，四棱锥 P﹣ABCD 中，PC⊥底面 ABCD，PC＝CD＝2，E 为 AB 的中点，底面四边形 ABCD满足∠ADC＝∠DCB＝90°，AD＝1，BC＝1．（Ⅰ）求证：平面 PDE⊥平面 PAC；（Ⅱ）求直线 PC 与平面 PDE 所成角的正弦值；（Ⅲ）求二面角 D﹣PE﹣B 的余弦值．18．（12 分）已知函数.（1）当时，解不等式；（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.19．（12 分）已知函数 f(x）=xlnx，g(x)=,（1）求 f(x)的最小值；（2）对任意，都有恒成立，求实数 a 的取值范围；（3）证明：对一切，都有成立．20．（12 分）已知点，若点满足.（Ⅰ）求点的轨迹方程； （Ⅱ）过点的直线 与（Ⅰ）中曲线相交于两点，为坐标原点， 求△面积的最大值及此时直线 的方程.21．（12 分）已知函数.（1）解不等式；（2）若函数最小值为，且，求的最小值.22．（10 分）如图，在四棱锥中，侧棱底面，，，，是棱的中点.（1）求证：平面；（2）若，点是线段上一点，且，求直线与平面所成角的正弦值.参考答案一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】利用复数的除法，以及复数的基本概念求解即可.【详解】，又的实部与虚部相等，，解得.故选:C【点睛】本题主要考查复数的除法运算，复数的概念运用.2、B【解析】先根据角度分析出的大小，然后根据...
