新疆昌吉州第二中学 2024 年高三第一次模拟考试数学试卷请考生注意：1．请用 2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用 0．5 毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知符号函数 sgnxf（x）是定义在 R 上的减函数，g（x）＝f（x）﹣f（ax）（a＞1），则（ ）A．sgn[g（x）]＝sgn xB．sgn[g（x）]＝﹣sgnxC．sgn[g（x）]＝sgn[f（x）]D．sgn[g（x）]＝﹣sgn[f（x）]2．的展开式中的系数为( )A．－30B．－40C．40D．503．中，角的对边分别为，若，，，则的面积为（ ）A．B．C．D．4．已知集合，则集合的非空子集个数是（ ）A．2B．3C．7D．85．若 2m＞2n＞1，则（ ）A．B．πm﹣n＞1C．ln（m﹣n）＞0D．6．已知向量，满足，在上投影为，则的最小值为( )A．B．C．D．7．已知 为虚数单位，复数，则其共轭复数（ ）A．B．C．D．8．函数的大致图象为（ ）A．B．C．D．9．设为的两个零点，且的最小值为 1，则（ ）A．B．C．D．10．一个四面体所有棱长都是 4，四个顶点在同一个球上，则球的表面积为（ ）A．B．C．D．11．已知实数、满足不等式组，则的最大值为（ ）A．B．C．D．12．已知集合，，则集合的真子集的个数是（ ）A．8B．7C．4D．3二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13．已知椭圆与双曲线（,）有相同的焦点,其左、右焦点分别为、,若椭圆与双曲线在第一象限内的交点为,且,则双曲线的离心率为__________．14．如图，棱长为 2 的正方体中，点分别为棱的中点，以为圆心，1 为半径，分别在面和面内作弧和，并将两弧各五等分，分点依次为、、、、、以及、、、、、 ．一只蚂蚁欲从点出发，沿正方体的表面爬行至，则其爬行的最短距离为________．参考数据：；；）15．已知内角的对边分别为外接圆的面积为，则的面积为_________.16．函数的定义域是____________．（写成区间的形式）三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12 分）我国在 2018 年社保又出新的好消息，之前流动就业人员跨地区就业后，社保转移接续的手续往往比较繁琐，费时费力.社保改革后将简化手续，深得流动就业人员的赞誉.某市社保局从 2018 年办理社保的人员中抽取 300人，得到其办理手续所需时间（天）与人数的频数分布表：时间人数156090754515（1）若 300 名办理社保的人员中流动人员 210 人，非流动人员 90 人，若办理时间超过 4 天的人员里非流动人员有 60人，请完成办理社保手续所需时间与是否流动人员的列联表，并判断是否有 95%的把握认为“办理社保手续所需时间与是否流动人员”有关.列联表如下流动人员非流动人员总计办理社保手续所需时间不超过 4 天办理社保手续所需时间超过 4 天60总计21090300（2）为了改进工作作风，提高效率，从抽取的 300 人中办理时间为流动人员中利用分层抽样，抽取 12 名流动人员召开座谈会，其中 3 人要求交书面材料，3 人中办理的时间为的人数为，求出分布列及期望值.附：0.100.050.0100.0052.7063.8416.6357.87918．（12 分）已知函数 ， （1）求函数的单调区间；（2）当时，判断函数，（）有几个零点，并证明你的结论；（3）设函数，若函数在为增函数，求实数的取值范围．19．（12 分）如图，四棱锥中，底面是矩形，面底面，且是边长为的等边三角形，在上，且面. （1）求证: 是的中点；（2）在上是否存在点，使二面角为直角？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.20．（12 分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（是参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为.（1）求直线 与曲线的普通方程，并求出直线的倾斜角；（2）记直线 与轴的交点为是曲线上的动点，求点的最大距离.21．（12 分）已知函数.（1）讨论的零点个数；（2）证明：当时，.22．（10...
