杭州市采荷中学 2024 年高考数学二模试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．函数的部分图象大致为（ ）A．B．C．D．2．已知抛物线：的焦点为，准线为 ，是 上一点，直线与抛物线交于，两点，若，则为( )A．B．40C．16D．3．《易经》包含着很多哲理，在信息学、天文学中都有广泛的应用，《易经》的博大精深，对今天 的几何学和其它学科仍有深刻的影响．下图就是易经中记载的几何图形——八卦田，图中正八 边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，八块面积相等的曲边梯形代表八卦田．已知正八边 形的边长为，阴阳太极图的半径为，则每块八卦田的面积约为（ ）A．B．C．D．4．已知数列的前 n 项和为，，且对于任意，满足，则（ ）A．B．C．D．5．若函数（其中，图象的一个对称中心为，，其相邻一条对称轴方程为，该对称轴处所对应的函数值为，为了得到的图象，则只要将的图象( )A．向右平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度6．已知函数，若关于的方程有 4 个不同的实数根，则实数的取值范围为（ ）A．B．C．D．7．记单调递增的等比数列的前项和为，若，，则（ ）A．B．C．D．8．已知满足，，,则在上的投影为（ ）A．B．C．D．29．函数在上的图象大致为( )A．B．C．D．10．在中，点为中点，过点的直线与，所在直线分别交于点，，若，，则的最小值为（ ）A．B．2C．3D．11．已知角的终边经过点，则的值是 A．1 或B．或C．1 或D．或12．已知将函数（，）的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若和的图象都关于对称，则的值为（ ）A．2B．3C．4D．二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13．如图，已知一块半径为 2 的残缺的半圆形材料，O 为半圆的圆心，，残缺部分位于过点 C 的竖直线的右侧，现要在这块材料上裁出一个直角三角形，若该直角三角形一条边在上，则裁出三角形面积的最大值为______.14．已知，满足约束条件，则的最小值为______．15．曲线在点处的切线方程为__．16． “今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月共织九匹三丈．”其白话意译为：“现有一善织布的女子，从第2 天开始，每天比前一天多织相同数量的布，第一天织了 5 尺布，现在一个月（按 30 天计算）共织布 390 尺．”则每天增加的数量为____尺，设该女子一个月中第 n 天所织布的尺数为，则______．三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12 分）已知，.（1）解；（2）若，证明：.18．（12 分）已知函数和的图象关于原点对称，且．（1）解关于的不等式；（2）如果对，不等式恒成立，求实数的取值范围．19．（12 分）某公园有一块边长为 3 百米的正三角形空地，拟将它分割成面积相等的三个区域，用来种植三种花卉.方案是：先建造一条直道将分成面积之比为的两部分（点 D，E 分别在边，上）；再取的中点 M，建造直道（如图）.设，，（单位：百米）.（1）分别求，关于 x 的函数关系式；（2）试确定点 D 的位置，使两条直道的长度之和最小，并求出最小值.20．（12 分）如图，在四棱柱中，底面为菱形，.（1）证明：平面平面；（2）若，是等边三角形，求二面角的余弦值.21．（12 分）如图，已知三棱柱中，与是全等的等边三角形.（1）求证：；（2）若，求二面角的余弦值．22．（10 分）在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为．（1）求曲线的直角坐标方程和曲线的参数方程；（2）设曲线与曲线在第二象限的交点为，曲线与轴的交点为，点，求的周长 的最大值．参考答案一、选择题...
